Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51946 / 50433
↖ ↑ ↗
← S 69.164512°
E105.347900°		 ← 217.27 m → S 69.164512°
E105.353394°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
S 69.166466°
E105.347900°		 ← 217.25 m →
47 200 m²		 S 69.166466°
E105.353394°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792640686035156 y=0.769554138183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792640686035156 × 216)
    floor (0.792640686035156 × 65536)
    floor (51946.5)     		tx = 51946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769554138183594 × 216)
    floor (0.769554138183594 × 65536)
    floor (50433.5)     		ty = 50433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51946 / 50433 ti = "16/51946/50433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51946/50433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51946 ÷ 216
    51946 ÷ 65536     		x = 0.792633056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50433 ÷ 216
    50433 ÷ 65536     		y = 0.769546508789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792633056640625 × 2 - 1) × π
    0.58526611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83866772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769546508789062 × 2 - 1) × π
    -0.539093017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.69361066357658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83866772} λ = 1.83866772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69361066357658))-π/2
    2×atan(0.183854487402737)-π/2
    2×0.181823934863466-π/2
    0.363647869726931-1.57079632675     		φ = -1.20714846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83866772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.347900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20714846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.164512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51946 KachelY 50433 1.83866772 -1.20714846 105.347900 -69.164512
    Oben rechts KachelX + 1 51947 KachelY 50433 1.83876360 -1.20714846 105.353394 -69.164512
    Unten links KachelX 51946 KachelY + 1 50434 1.83866772 -1.20718256 105.347900 -69.166466
    Unten rechts KachelX + 1 51947 KachelY + 1 50434 1.83876360 -1.20718256 105.353394 -69.166466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20714846--1.20718256) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dl = 217.251099999528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20714846--1.20718256) × R
    3.40999999999259e-05 × 6371000     		dr = 217.251099999528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83866772-1.83876360) × cos(-1.20714846) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.355685908807873 × 6371000     		do = 217.271263810795m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83866772-1.83876360) × cos(-1.20718256) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.355654038551823 × 6371000     		du = 217.251795817719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20714846)-sin(-1.20718256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355685908807873-0.355654038551823)×R²
    abs(1.83876360-1.83866772)×3.18702560496709e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.18702560496709e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.18702560496709e-05×40589641000000     		ar = 47200.3063443564m²