Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51945 / 50439
↖ ↑ ↗
← S 69.176232°
E105.342407°		 ← 217.13 m → S 69.176232°
E105.347900°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
S 69.178184°
E105.342407°		 ← 217.11 m →
47 142 m²		 S 69.178184°
E105.347900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51945 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792625427246094 y=0.769645690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792625427246094 × 216)
    floor (0.792625427246094 × 65536)
    floor (51945.5)     		tx = 51945
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769645690917969 × 216)
    floor (0.769645690917969 × 65536)
    floor (50439.5)     		ty = 50439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51945 / 50439 ti = "16/51945/50439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51945/50439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51945 ÷ 216
    51945 ÷ 65536     		x = 0.792617797851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50439 ÷ 216
    50439 ÷ 65536     		y = 0.769638061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792617797851562 × 2 - 1) × π
    0.585235595703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83857185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.769638061523438 × 2 - 1) × π
    -0.539276123046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.69418590637202
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83857185} λ = 1.83857185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69418590637202))-π/2
    2×atan(0.183748756846735)-π/2
    2×0.181721659480521-π/2
    0.363443318961041-1.57079632675     		φ = -1.20735301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83857185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.342407°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20735301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.176232°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51945 KachelY 50439 1.83857185 -1.20735301 105.342407 -69.176232
    Oben rechts KachelX + 1 51946 KachelY 50439 1.83866772 -1.20735301 105.347900 -69.176232
    Unten links KachelX 51945 KachelY + 1 50440 1.83857185 -1.20738709 105.342407 -69.178184
    Unten rechts KachelX + 1 51946 KachelY + 1 50440 1.83866772 -1.20738709 105.347900 -69.178184
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20735301--1.20738709) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20735301--1.20738709) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83857185-1.83866772) × cos(-1.20735301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355494727802859 × 6371000     		do = 217.131832041461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83857185-1.83866772) × cos(-1.20738709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355462873760431 × 6371000     		du = 217.112375981921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20735301)-sin(-1.20738709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355494727802859-0.355462873760431)×R²
    abs(1.83866772-1.83857185)×3.18540424281699e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18540424281699e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18540424281699e-05×40589641000000     		ar = 47142.3502369558m²