Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51943 / 50440
↖ ↑ ↗
← S 69.178184°
E105.331421°		 ← 217.11 m → S 69.178184°
E105.336914°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
S 69.180137°
E105.331421°		 ← 217.09 m →
47 138 m²		 S 69.180137°
E105.336914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51943 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50440 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792594909667969 y=0.769660949707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792594909667969 × 216)
    floor (0.792594909667969 × 65536)
    floor (51943.5)     		tx = 51943
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.769660949707031 × 216)
    floor (0.769660949707031 × 65536)
    floor (50440.5)     		ty = 50440
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51943 / 50440 ti = "16/51943/50440"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51943/50440.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51943 ÷ 216
    51943 ÷ 65536     		x = 0.792587280273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50440 ÷ 216
    50440 ÷ 65536     		y = 0.7696533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792587280273438 × 2 - 1) × π
    0.585174560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83838010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.539306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.69428178017126
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83838010} λ = 1.83838010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.69428178017126))-π/2
    2×atan(0.183731140999773)-π/2
    2×0.181704618928868-π/2
    0.363409237857736-1.57079632675     		φ = -1.20738709
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83838010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.331421°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.20738709 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.178184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51943 KachelY 50440 1.83838010 -1.20738709 105.331421 -69.178184
    Oben rechts KachelX + 1 51944 KachelY 50440 1.83847597 -1.20738709 105.336914 -69.178184
    Unten links KachelX 51943 KachelY + 1 50441 1.83838010 -1.20742117 105.331421 -69.180137
    Unten rechts KachelX + 1 51944 KachelY + 1 50441 1.83847597 -1.20742117 105.336914 -69.180137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.20738709--1.20742117) × R
    3.40799999998254e-05 × 6371000     		dl = 217.123679998887m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.20738709--1.20742117) × R
    3.40799999998254e-05 × 6371000     		dr = 217.123679998887m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83838010-1.83847597) × cos(-1.20738709) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355462873760431 × 6371000     		do = 217.112375981921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83838010-1.83847597) × cos(-1.20742117) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.355431019305152 × 6371000     		du = 217.092919670216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.20738709)-sin(-1.20742117))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355462873760431-0.355431019305152)×R²
    abs(1.83847597-1.83838010)×3.18544552790345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.18544552790345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.18544552790345e-05×40589641000000     		ar = 47138.1258381911m²