Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5194 / 3318
↖ ↑ ↗
← N 80.664872°
W122.937012°		 ← 198.16 m → N 80.664872°
W122.926025°		 →
↑
198.14 m
↓
↑
198.14 m
↓
N 80.663090°
W122.937012°		 ← 198.20 m →
39 267 m²		 N 80.663090°
W122.926025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3318 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158523559570312 y=0.101272583007812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158523559570312 × 215)
    floor (0.158523559570312 × 32768)
    floor (5194.5)     		tx = 5194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101272583007812 × 215)
    floor (0.101272583007812 × 32768)
    floor (3318.5)     		ty = 3318
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5194 / 3318 ti = "15/5194/3318"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5194/3318.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5194 ÷ 215
    5194 ÷ 32768     		x = 0.15850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3318 ÷ 215
    3318 ÷ 32768     		y = 0.10125732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.6829833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14565563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10125732421875 × 2 - 1) × π
    0.7974853515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50537412174261
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14565563} λ = -2.14565563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50537412174261))-π/2
    2×atan(12.2481404043716)-π/2
    2×1.4893319705248-π/2
    2.9786639410496-1.57079632675     		φ = 1.40786761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14565563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.937012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40786761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.664872°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5194 KachelY 3318 -2.14565563 1.40786761 -122.937012 80.664872
    Oben rechts KachelX + 1 5195 KachelY 3318 -2.14546388 1.40786761 -122.926025 80.664872
    Unten links KachelX 5194 KachelY + 1 3319 -2.14565563 1.40783651 -122.937012 80.663090
    Unten rechts KachelX + 1 5195 KachelY + 1 3319 -2.14546388 1.40783651 -122.926025 80.663090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40786761-1.40783651) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dl = 198.138099999685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40786761-1.40783651) × R
    3.10999999999506e-05 × 6371000     		dr = 198.138099999685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14565563--2.14546388) × cos(1.40786761) × R
    0.000191749999999935 × 0.162208828340064 × 6371000     		do = 198.160671396667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14565563--2.14546388) × cos(1.40783651) × R
    0.000191749999999935 × 0.162239516387278 × 6371000     		du = 198.19816111965m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40786761)-sin(1.40783651))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162208828340064-0.162239516387278)×R²
    abs(-2.14546388--2.14565563)×3.06880472142057e-05×R²
    0.000191749999999935×3.06880472142057e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.06880472142057e-05×40589641000000     		ar = 39266.8929996913m²