Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5194 / 3146
↖ ↑ ↗
← N 80.966455°
W122.937012°		 ← 191.81 m → N 80.966455°
W122.926025°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 80.964730°
W122.937012°		 ← 191.85 m →
36 799 m²		 N 80.964730°
W122.926025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5194 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158523559570312 y=0.0960235595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158523559570312 × 215)
    floor (0.158523559570312 × 32768)
    floor (5194.5)     		tx = 5194
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0960235595703125 × 215)
    floor (0.0960235595703125 × 32768)
    floor (3146.5)     		ty = 3146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5194 / 3146 ti = "15/5194/3146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5194/3146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5194 ÷ 215
    5194 ÷ 32768     		x = 0.15850830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3146 ÷ 215
    3146 ÷ 32768     		y = 0.09600830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15850830078125 × 2 - 1) × π
    -0.6829833984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14565563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09600830078125 × 2 - 1) × π
    0.8079833984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53835470868121
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14565563} λ = -2.14565563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53835470868121))-π/2
    2×atan(12.6588263706825)-π/2
    2×1.49196377248421-π/2
    2.98392754496841-1.57079632675     		φ = 1.41313122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14565563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.937012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41313122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.966455°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5194 KachelY 3146 -2.14565563 1.41313122 -122.937012 80.966455
    Oben rechts KachelX + 1 5195 KachelY 3146 -2.14546388 1.41313122 -122.926025 80.966455
    Unten links KachelX 5194 KachelY + 1 3147 -2.14565563 1.41310111 -122.937012 80.964730
    Unten rechts KachelX + 1 5195 KachelY + 1 3147 -2.14546388 1.41310111 -122.926025 80.964730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41313122-1.41310111) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41313122-1.41310111) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14565563--2.14546388) × cos(1.41313122) × R
    0.000191749999999935 × 0.157012704153405 × 6371000     		do = 191.812882142372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14565563--2.14546388) × cos(1.41310111) × R
    0.000191749999999935 × 0.157042440615339 × 6371000     		du = 191.849209371428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41313122)-sin(1.41310111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157012704153405-0.157042440615339)×R²
    abs(-2.14546388--2.14565563)×2.97364619345208e-05×R²
    0.000191749999999935×2.97364619345208e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.97364619345208e-05×40589641000000     		ar = 36799.1048930659m²