Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51931 / 49593
↖ ↑ ↗
← S 67.460187°
E105.265503°		 ← 234.15 m → S 67.460187°
E105.270996°		 →
↑
234.13 m
↓
↑
234.13 m
↓
S 67.462293°
E105.265503°		 ← 234.13 m →
54 821 m²		 S 67.462293°
E105.270996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51931 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792411804199219 y=0.756736755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792411804199219 × 216)
    floor (0.792411804199219 × 65536)
    floor (51931.5)     		tx = 51931
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756736755371094 × 216)
    floor (0.756736755371094 × 65536)
    floor (49593.5)     		ty = 49593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51931 / 49593 ti = "16/51931/49593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51931/49593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51931 ÷ 216
    51931 ÷ 65536     		x = 0.792404174804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49593 ÷ 216
    49593 ÷ 65536     		y = 0.756729125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792404174804688 × 2 - 1) × π
    0.584808349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83722961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756729125976562 × 2 - 1) × π
    -0.513458251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61307667221489
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83722961} λ = 1.83722961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61307667221489))-π/2
    2×atan(0.199273570496601)-π/2
    2×0.196696972465145-π/2
    0.393393944930291-1.57079632675     		φ = -1.17740238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83722961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.265503°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17740238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.460187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51931 KachelY 49593 1.83722961 -1.17740238 105.265503 -67.460187
    Oben rechts KachelX + 1 51932 KachelY 49593 1.83732549 -1.17740238 105.270996 -67.460187
    Unten links KachelX 51931 KachelY + 1 49594 1.83722961 -1.17743913 105.265503 -67.462293
    Unten rechts KachelX + 1 51932 KachelY + 1 49594 1.83732549 -1.17743913 105.270996 -67.462293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17740238--1.17743913) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dl = 234.13425000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17740238--1.17743913) × R
    3.67500000000298e-05 × 6371000     		dr = 234.13425000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83722961-1.83732549) × cos(-1.17740238) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383325311566686 × 6371000     		do = 234.154833891818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83722961-1.83732549) × cos(-1.17743913) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383291368515534 × 6371000     		du = 234.134099728786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17740238)-sin(-1.17743913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383325311566686-0.383291368515534)×R²
    abs(1.83732549-1.83722961)×3.39430511525629e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.39430511525629e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.39430511525629e-05×40589641000000     		ar = 54821.2391342337m²