Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5193 / 3145
↖ ↑ ↗
← N 80.968179°
W122.947998°		 ← 191.77 m → N 80.968179°
W122.937012°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
N 80.966455°
W122.947998°		 ← 191.80 m →
36 778 m²		 N 80.966455°
W122.937012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5193 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3145 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158493041992188 y=0.0959930419921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158493041992188 × 215)
    floor (0.158493041992188 × 32768)
    floor (5193.5)     		tx = 5193
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0959930419921875 × 215)
    floor (0.0959930419921875 × 32768)
    floor (3145.5)     		ty = 3145
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5193 / 3145 ti = "15/5193/3145"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5193/3145.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5193 ÷ 215
    5193 ÷ 32768     		x = 0.158477783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3145 ÷ 215
    3145 ÷ 32768     		y = 0.095977783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158477783203125 × 2 - 1) × π
    -0.68304443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14584737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095977783203125 × 2 - 1) × π
    0.80804443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.53854645627969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14584737} λ = -2.14584737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53854645627969))-π/2
    2×atan(12.661253902968)-π/2
    2×1.49197882446362-π/2
    2.98395764892723-1.57079632675     		φ = 1.41316132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14584737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.947998°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41316132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.968179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5193 KachelY 3145 -2.14584737 1.41316132 -122.947998 80.968179
    Oben rechts KachelX + 1 5194 KachelY 3145 -2.14565563 1.41316132 -122.937012 80.968179
    Unten links KachelX 5193 KachelY + 1 3146 -2.14584737 1.41313122 -122.947998 80.966455
    Unten rechts KachelX + 1 5194 KachelY + 1 3146 -2.14565563 1.41313122 -122.937012 80.966455
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41316132-1.41313122) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dl = 191.767100000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41316132-1.41313122) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dr = 191.767100000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14584737--2.14565563) × cos(1.41316132) × R
    0.000191739999999996 × 0.156982977425134 × 6371000     		do = 191.766565418911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14584737--2.14565563) × cos(1.41313122) × R
    0.000191739999999996 × 0.157012704153405 × 6371000     		du = 191.802878863052m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41316132)-sin(1.41313122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156982977425134-0.157012704153405)×R²
    abs(-2.14565563--2.14584737)×2.972672827109e-05×R²
    0.000191739999999996×2.972672827109e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.972672827109e-05×40589641000000     		ar = 36777.9999926975m²