Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51925 / 49580
↖ ↑ ↗
← S 67.432798°
E105.232544°		 ← 234.42 m → S 67.432798°
E105.238037°		 →
↑
234.39 m
↓
↑
234.39 m
↓
S 67.434906°
E105.232544°		 ← 234.40 m →
54 944 m²		 S 67.434906°
E105.238037°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51925 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49580 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792320251464844 y=0.756538391113281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792320251464844 × 216)
    floor (0.792320251464844 × 65536)
    floor (51925.5)     		tx = 51925
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756538391113281 × 216)
    floor (0.756538391113281 × 65536)
    floor (49580.5)     		ty = 49580
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51925 / 49580 ti = "16/51925/49580"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51925/49580.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51925 ÷ 216
    51925 ÷ 65536     		x = 0.792312622070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49580 ÷ 216
    49580 ÷ 65536     		y = 0.75653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792312622070312 × 2 - 1) × π
    0.584625244140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83665437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5130615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61183031282477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83665437} λ = 1.83665437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61183031282477))-π/2
    2×atan(0.199522091823666)-π/2
    2×0.196935990552694-π/2
    0.393871981105389-1.57079632675     		φ = -1.17692435
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83665437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.232544°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17692435 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.432798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51925 KachelY 49580 1.83665437 -1.17692435 105.232544 -67.432798
    Oben rechts KachelX + 1 51926 KachelY 49580 1.83675025 -1.17692435 105.238037 -67.432798
    Unten links KachelX 51925 KachelY + 1 49581 1.83665437 -1.17696114 105.232544 -67.434906
    Unten rechts KachelX + 1 51926 KachelY + 1 49581 1.83675025 -1.17696114 105.238037 -67.434906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17692435--1.17696114) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dl = 234.389090000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17692435--1.17696114) × R
    3.67900000000088e-05 × 6371000     		dr = 234.389090000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83665437-1.83675025) × cos(-1.17692435) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383766782664277 × 6371000     		do = 234.424507165158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83665437-1.83675025) × cos(-1.17696114) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383732809413044 × 6371000     		du = 234.403754554362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17692435)-sin(-1.17696114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383766782664277-0.383732809413044)×R²
    abs(1.83675025-1.83665437)×3.39732512324442e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.39732512324442e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.39732512324442e-05×40589641000000     		ar = 54944.1148215595m²