Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51920 / 49616
↖ ↑ ↗
← S 67.508568°
E105.205078°		 ← 233.68 m → S 67.508568°
E105.210571°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 67.510670°
E105.205078°		 ← 233.66 m →
54 605 m²		 S 67.510670°
E105.210571°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51920 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792243957519531 y=0.757087707519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792243957519531 × 216)
    floor (0.792243957519531 × 65536)
    floor (51920.5)     		tx = 51920
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757087707519531 × 216)
    floor (0.757087707519531 × 65536)
    floor (49616.5)     		ty = 49616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51920 / 49616 ti = "16/51920/49616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51920/49616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51920 ÷ 216
    51920 ÷ 65536     		x = 0.792236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49616 ÷ 216
    49616 ÷ 65536     		y = 0.757080078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792236328125 × 2 - 1) × π
    0.58447265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83617500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757080078125 × 2 - 1) × π
    -0.51416015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61528176959741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83617500} λ = 1.83617500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61528176959741))-π/2
    2×atan(0.198834636991312)-π/2
    2×0.196274767785801-π/2
    0.392549535571601-1.57079632675     		φ = -1.17824679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83617500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17824679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.508568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51920 KachelY 49616 1.83617500 -1.17824679 105.205078 -67.508568
    Oben rechts KachelX + 1 51921 KachelY 49616 1.83627088 -1.17824679 105.210571 -67.508568
    Unten links KachelX 51920 KachelY + 1 49617 1.83617500 -1.17828347 105.205078 -67.510670
    Unten rechts KachelX + 1 51921 KachelY + 1 49617 1.83627088 -1.17828347 105.210571 -67.510670
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17824679--1.17828347) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17824679--1.17828347) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83617500-1.83627088) × cos(-1.17824679) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.382545266610663 × 6371000     		do = 233.678342276506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83617500-1.83627088) × cos(-1.17828347) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.382511376353318 × 6371000     		du = 233.657640362649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17824679)-sin(-1.17828347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382545266610663-0.382511376353318)×R²
    abs(1.83627088-1.83617500)×3.38902573446265e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.38902573446265e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.38902573446265e-05×40589641000000     		ar = 54605.4709888386m²