Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5192 / 3335
↖ ↑ ↗
← N 80.634528°
W122.958984°		 ← 198.80 m → N 80.634528°
W122.947998°		 →
↑
198.84 m
↓
↑
198.84 m
↓
N 80.632740°
W122.958984°		 ← 198.84 m →
39 533 m²		 N 80.632740°
W122.947998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5192 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158462524414062 y=0.101791381835938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158462524414062 × 215)
    floor (0.158462524414062 × 32768)
    floor (5192.5)     		tx = 5192
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.101791381835938 × 215)
    floor (0.101791381835938 × 32768)
    floor (3335.5)     		ty = 3335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5192 / 3335 ti = "15/5192/3335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5192/3335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5192 ÷ 215
    5192 ÷ 32768     		x = 0.158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3335 ÷ 215
    3335 ÷ 32768     		y = 0.101776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.68310546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14603912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.101776123046875 × 2 - 1) × π
    0.79644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.50211441256845
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14603912} λ = -2.14603912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50211441256845))-π/2
    2×atan(12.2082800306373)-π/2
    2×1.48906716809569-π/2
    2.97813433619137-1.57079632675     		φ = 1.40733801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14603912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.958984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40733801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.634528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5192 KachelY 3335 -2.14603912 1.40733801 -122.958984 80.634528
    Oben rechts KachelX + 1 5193 KachelY 3335 -2.14584737 1.40733801 -122.947998 80.634528
    Unten links KachelX 5192 KachelY + 1 3336 -2.14603912 1.40730680 -122.958984 80.632740
    Unten rechts KachelX + 1 5193 KachelY + 1 3336 -2.14584737 1.40730680 -122.947998 80.632740
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40733801-1.40730680) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dl = 198.83890999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40733801-1.40730680) × R
    3.12099999999482e-05 × 6371000     		dr = 198.83890999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14603912--2.14584737) × cos(1.40733801) × R
    0.000191750000000379 × 0.16273139178488 × 6371000     		do = 198.79905541193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14603912--2.14584737) × cos(1.40730680) × R
    0.000191750000000379 × 0.162762185689055 × 6371000     		du = 198.83667445393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40733801)-sin(1.40730680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16273139178488-0.162762185689055)×R²
    abs(-2.14584737--2.14603912)×3.0793904174875e-05×R²
    0.000191750000000379×3.0793904174875e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.0793904174875e-05×40589641000000     		ar = 39532.7275549856m²