Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51919 / 49614
↖ ↑ ↗
← S 67.504365°
E105.199585°		 ← 233.70 m → S 67.504365°
E105.205078°		 →
↑
233.69 m
↓
↑
233.69 m
↓
S 67.506467°
E105.199585°		 ← 233.67 m →
54 609 m²		 S 67.506467°
E105.205078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792228698730469 y=0.757057189941406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792228698730469 × 216)
    floor (0.792228698730469 × 65536)
    floor (51919.5)     		tx = 51919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757057189941406 × 216)
    floor (0.757057189941406 × 65536)
    floor (49614.5)     		ty = 49614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51919 / 49614 ti = "16/51919/49614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51919/49614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51919 ÷ 216
    51919 ÷ 65536     		x = 0.792221069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49614 ÷ 216
    49614 ÷ 65536     		y = 0.757049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792221069335938 × 2 - 1) × π
    0.584442138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83607913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757049560546875 × 2 - 1) × π
    -0.51409912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61509002199893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83607913} λ = 1.83607913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61509002199893))-π/2
    2×atan(0.198872766710975)-π/2
    2×0.196311447102757-π/2
    0.392622894205515-1.57079632675     		φ = -1.17817343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83607913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.199585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17817343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.504365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51919 KachelY 49614 1.83607913 -1.17817343 105.199585 -67.504365
    Oben rechts KachelX + 1 51920 KachelY 49614 1.83617500 -1.17817343 105.205078 -67.504365
    Unten links KachelX 51919 KachelY + 1 49615 1.83607913 -1.17821011 105.199585 -67.506467
    Unten rechts KachelX + 1 51920 KachelY + 1 49615 1.83617500 -1.17821011 105.205078 -67.506467
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17817343--1.17821011) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dl = 233.688280000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17817343--1.17821011) × R
    3.66800000000111e-05 × 6371000     		dr = 233.688280000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83607913-1.83617500) × cos(-1.17817343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382613045581251 × 6371000     		do = 233.695368883476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83607913-1.83617500) × cos(-1.17821011) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382579156353322 × 6371000     		du = 233.674669757522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17817343)-sin(-1.17821011))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382613045581251-0.382579156353322)×R²
    abs(1.83617500-1.83607913)×3.38892279290737e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38892279290737e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38892279290737e-05×40589641000000     		ar = 54609.4502325994m²