Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51914 / 49612
↖ ↑ ↗
← S 67.500161°
E105.172119°		 ← 233.74 m → S 67.500161°
E105.177612°		 →
↑
233.75 m
↓
↑
233.75 m
↓
S 67.502263°
E105.172119°		 ← 233.72 m →
54 634 m²		 S 67.502263°
E105.177612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792152404785156 y=0.757026672363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792152404785156 × 216)
    floor (0.792152404785156 × 65536)
    floor (51914.5)     		tx = 51914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757026672363281 × 216)
    floor (0.757026672363281 × 65536)
    floor (49612.5)     		ty = 49612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51914 / 49612 ti = "16/51914/49612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51914/49612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51914 ÷ 216
    51914 ÷ 65536     		x = 0.792144775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49612 ÷ 216
    49612 ÷ 65536     		y = 0.75701904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792144775390625 × 2 - 1) × π
    0.58428955078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83559976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61489827440045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83559976} λ = 1.83559976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61489827440045))-π/2
    2×atan(0.19891090374262)-π/2
    2×0.196348132918297-π/2
    0.392696265836595-1.57079632675     		φ = -1.17810006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83559976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.172119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17810006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.500161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51914 KachelY 49612 1.83559976 -1.17810006 105.172119 -67.500161
    Oben rechts KachelX + 1 51915 KachelY 49612 1.83569563 -1.17810006 105.177612 -67.500161
    Unten links KachelX 51914 KachelY + 1 49613 1.83559976 -1.17813675 105.172119 -67.502263
    Unten rechts KachelX + 1 51915 KachelY + 1 49613 1.83569563 -1.17813675 105.177612 -67.502263
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17810006--1.17813675) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dl = 233.751989999684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17810006--1.17813675) × R
    3.66899999999504e-05 × 6371000     		dr = 233.751989999684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83559976-1.83569563) × cos(-1.17810006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382680831731541 × 6371000     		do = 233.736771835048m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83559976-1.83569563) × cos(-1.17813675) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382646934294404 × 6371000     		du = 233.716067695011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17810006)-sin(-1.17813675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382680831731541-0.382646934294404)×R²
    abs(1.83569563-1.83559976)×3.38974371372203e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.38974371372203e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.38974371372203e-05×40589641000000     		ar = 54634.0157417117m²