Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51911 / 49771
↖ ↑ ↗
← S 67.832055°
E105.155640°		 ← 230.46 m → S 67.832055°
E105.161133°		 →
↑
230.50 m
↓
↑
230.50 m
↓
S 67.834128°
E105.155640°		 ← 230.44 m →
53 120 m²		 S 67.834128°
E105.161133°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792106628417969 y=0.759452819824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792106628417969 × 216)
    floor (0.792106628417969 × 65536)
    floor (51911.5)     		tx = 51911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759452819824219 × 216)
    floor (0.759452819824219 × 65536)
    floor (49771.5)     		ty = 49771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51911 / 49771 ti = "16/51911/49771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51911/49771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51911 ÷ 216
    51911 ÷ 65536     		x = 0.792098999023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49771 ÷ 216
    49771 ÷ 65536     		y = 0.759445190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792098999023438 × 2 - 1) × π
    0.584197998046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83531214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759445190429688 × 2 - 1) × π
    -0.518890380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63014220847963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83531214} λ = 1.83531214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63014220847963))-π/2
    2×atan(0.195901713261131)-π/2
    2×0.193451811759632-π/2
    0.386903623519264-1.57079632675     		φ = -1.18389270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83531214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.155640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18389270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.832055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51911 KachelY 49771 1.83531214 -1.18389270 105.155640 -67.832055
    Oben rechts KachelX + 1 51912 KachelY 49771 1.83540801 -1.18389270 105.161133 -67.832055
    Unten links KachelX 51911 KachelY + 1 49772 1.83531214 -1.18392888 105.155640 -67.834128
    Unten rechts KachelX + 1 51912 KachelY + 1 49772 1.83540801 -1.18392888 105.161133 -67.834128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18389270--1.18392888) × R
    3.61800000001633e-05 × 6371000     		dl = 230.50278000104m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18389270--1.18392888) × R
    3.61800000001633e-05 × 6371000     		dr = 230.50278000104m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83531214-1.83540801) × cos(-1.18389270) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377322733537392 × 6371000     		do = 230.464110987603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83531214-1.83540801) × cos(-1.18392888) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.377289227649855 × 6371000     		du = 230.443646001272m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18389270)-sin(-1.18392888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377322733537392-0.377289227649855)×R²
    abs(1.83540801-1.83531214)×3.35058875370331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.35058875370331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.35058875370331e-05×40589641000000     		ar = 53120.259660739m²