Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51910 / 49001
↖ ↑ ↗
← S 66.180485°
E105.150147°		 ← 246.67 m → S 66.180485°
E105.155640°		 →
↑
246.62 m
↓
↑
246.62 m
↓
S 66.182703°
E105.150147°		 ← 246.65 m →
60 832 m²		 S 66.182703°
E105.155640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51910 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49001 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.792091369628906 y=0.747703552246094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.792091369628906 × 216)
    floor (0.792091369628906 × 65536)
    floor (51910.5)     		tx = 51910
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747703552246094 × 216)
    floor (0.747703552246094 × 65536)
    floor (49001.5)     		ty = 49001
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51910 / 49001 ti = "16/51910/49001"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51910/49001.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51910 ÷ 216
    51910 ÷ 65536     		x = 0.792083740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49001 ÷ 216
    49001 ÷ 65536     		y = 0.747695922851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.792083740234375 × 2 - 1) × π
    0.58416748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83521627
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.747695922851562 × 2 - 1) × π
    -0.495391845703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.55631938306474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83521627} λ = 1.83521627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55631938306474))-π/2
    2×atan(0.210910926681494)-π/2
    2×0.207864485749169-π/2
    0.415728971498339-1.57079632675     		φ = -1.15506736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83521627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.150147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15506736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.180485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51910 KachelY 49001 1.83521627 -1.15506736 105.150147 -66.180485
    Oben rechts KachelX + 1 51911 KachelY 49001 1.83531214 -1.15506736 105.155640 -66.180485
    Unten links KachelX 51910 KachelY + 1 49002 1.83521627 -1.15510607 105.150147 -66.182703
    Unten rechts KachelX + 1 51911 KachelY + 1 49002 1.83531214 -1.15510607 105.155640 -66.182703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15506736--1.15510607) × R
    3.87099999998863e-05 × 6371000     		dl = 246.621409999276m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15506736--1.15510607) × R
    3.87099999998863e-05 × 6371000     		dr = 246.621409999276m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83521627-1.83531214) × cos(-1.15506736) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403856912611589 × 6371000     		do = 246.670863053112m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83521627-1.83531214) × cos(-1.15510607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.403821499542996 × 6371000     		du = 246.649233183917m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15506736)-sin(-1.15510607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403856912611589-0.403821499542996)×R²
    abs(1.83531214-1.83521627)×3.54130685926157e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.54130685926157e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.54130685926157e-05×40589641000000     		ar = 60831.6488646873m²