Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5191 / 3127
↖ ↑ ↗
← N 80.999171°
W122.969971°		 ← 191.12 m → N 80.999171°
W122.958984°		 →
↑
191.13 m
↓
↑
191.13 m
↓
N 80.997452°
W122.969971°		 ← 191.16 m →
36 533 m²		 N 80.997452°
W122.958984°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5191 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158432006835938 y=0.0954437255859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158432006835938 × 215)
    floor (0.158432006835938 × 32768)
    floor (5191.5)     		tx = 5191
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0954437255859375 × 215)
    floor (0.0954437255859375 × 32768)
    floor (3127.5)     		ty = 3127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5191 / 3127 ti = "15/5191/3127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5191/3127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5191 ÷ 215
    5191 ÷ 32768     		x = 0.158416748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3127 ÷ 215
    3127 ÷ 32768     		y = 0.095428466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.68316650390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14623087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095428466796875 × 2 - 1) × π
    0.80914306640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.54199791305234
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14623087} λ = -2.14623087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54199791305234))-π/2
    2×atan(12.7050291742736)-π/2
    2×1.49224927323083-π/2
    2.98449854646165-1.57079632675     		φ = 1.41370222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14623087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.969971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41370222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.999171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5191 KachelY 3127 -2.14623087 1.41370222 -122.969971 80.999171
    Oben rechts KachelX + 1 5192 KachelY 3127 -2.14603912 1.41370222 -122.958984 80.999171
    Unten links KachelX 5191 KachelY + 1 3128 -2.14623087 1.41367222 -122.969971 80.997452
    Unten rechts KachelX + 1 5192 KachelY + 1 3128 -2.14603912 1.41367222 -122.958984 80.997452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41370222-1.41367222) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dl = 191.129999999837m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41370222-1.41367222) × R
    2.99999999999745e-05 × 6371000     		dr = 191.129999999837m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14623087--2.14603912) × cos(1.41370222) × R
    0.000191749999999935 × 0.156448760938872 × 6371000     		do = 191.123946976728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14623087--2.14603912) × cos(1.41367222) × R
    0.000191749999999935 × 0.156478391450753 × 6371000     		du = 191.160144773039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41370222)-sin(1.41367222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156448760938872-0.156478391450753)×R²
    abs(-2.14603912--2.14623087)×2.96305118808182e-05×R²
    0.000191749999999935×2.96305118808182e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.96305118808182e-05×40589641000000     		ar = 36532.9792307619m²