Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 51905 / 54849
↖ ↑ ↗
← N 28.147082°
W 37.438660°		 ← 269.31 m → N 28.147082°
W 37.435913°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
N 28.144660°
W 37.438660°		 ← 269.31 m →
72 525 m²		 N 28.144660°
W 37.435913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51905 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.396007537841797 y=0.418468475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.396007537841797 × 217)
    floor (0.396007537841797 × 131072)
    floor (51905.5)     		tx = 51905
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418468475341797 × 217)
    floor (0.418468475341797 × 131072)
    floor (54849.5)     		ty = 54849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51905 / 54849 ti = "17/51905/54849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51905/54849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51905 ÷ 217
    51905 ÷ 131072     		x = 0.396003723144531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54849 ÷ 217
    54849 ÷ 131072     		y = 0.418464660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.396003723144531 × 2 - 1) × π
    -0.207992553710938 × 3.1415926535     		Λ = -0.65342788
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418464660644531 × 2 - 1) × π
    0.163070678710938 × 3.1415926535     		Φ = 0.51230164623954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.65342788} λ = -0.65342788}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.51230164623954))-π/2
    2×atan(1.66912852055145)-π/2
    2×1.03102778662148-π/2
    2.06205557324297-1.57079632675     		φ = 0.49125925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.65342788} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.438660°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49125925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.147082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51905 KachelY 54849 -0.65342788 0.49125925 -37.438660 28.147082
    Oben rechts KachelX + 1 51906 KachelY 54849 -0.65337994 0.49125925 -37.435913 28.147082
    Unten links KachelX 51905 KachelY + 1 54850 -0.65342788 0.49121698 -37.438660 28.144660
    Unten rechts KachelX + 1 51906 KachelY + 1 54850 -0.65337994 0.49121698 -37.435913 28.144660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49125925-0.49121698) × R
    4.22699999999554e-05 × 6371000     		dl = 269.302169999716m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49125925-0.49121698) × R
    4.22699999999554e-05 × 6371000     		dr = 269.302169999716m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.65342788--0.65337994) × cos(0.49125925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881739523554892 × 6371000     		do = 269.305946468824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.65342788--0.65337994) × cos(0.49121698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881759463072922 × 6371000     		du = 269.312036510873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49125925)-sin(0.49121698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881739523554892-0.881759463072922)×R²
    abs(-0.65337994--0.65342788)×1.9939518029144e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.9939518029144e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.9939518029144e-05×40589641000000     		ar = 72525.4958194768m²