Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51904 / 50109
↖ ↑ ↗
← S 68.522202°
E105.117187°		 ← 223.66 m → S 68.522202°
E105.122681°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 68.524213°
E105.117187°		 ← 223.64 m →
50 027 m²		 S 68.524213°
E105.122681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50109 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791999816894531 y=0.764610290527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791999816894531 × 216)
    floor (0.791999816894531 × 65536)
    floor (51904.5)     		tx = 51904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764610290527344 × 216)
    floor (0.764610290527344 × 65536)
    floor (50109.5)     		ty = 50109
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51904 / 50109 ti = "16/51904/50109"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51904/50109.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51904 ÷ 216
    51904 ÷ 65536     		x = 0.7919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50109 ÷ 216
    50109 ÷ 65536     		y = 0.764602661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83464102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764602661132812 × 2 - 1) × π
    -0.529205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66254755262279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83464102} λ = 1.83464102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66254755262279))-π/2
    2×atan(0.18965520752376)-π/2
    2×0.187429146334614-π/2
    0.374858292669228-1.57079632675     		φ = -1.19593803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83464102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.117187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19593803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.522202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51904 KachelY 50109 1.83464102 -1.19593803 105.117187 -68.522202
    Oben rechts KachelX + 1 51905 KachelY 50109 1.83473690 -1.19593803 105.122681 -68.522202
    Unten links KachelX 51904 KachelY + 1 50110 1.83464102 -1.19597314 105.117187 -68.524213
    Unten rechts KachelX + 1 51905 KachelY + 1 50110 1.83473690 -1.19597314 105.122681 -68.524213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19593803--1.19597314) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19593803--1.19597314) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83464102-1.83473690) × cos(-1.19593803) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366140669496752 × 6371000     		do = 223.657569850135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83464102-1.83473690) × cos(-1.19597314) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.366107997326529 × 6371000     		du = 223.6376120066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19593803)-sin(-1.19597314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366140669496752-0.366107997326529)×R²
    abs(1.83473690-1.83464102)×3.26721702225696e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.26721702225696e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.26721702225696e-05×40589641000000     		ar = 50026.7925364543m²