Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51904 / 49601
↖ ↑ ↗
← S 67.477026°
E105.117187°		 ← 233.99 m → S 67.477026°
E105.122681°		 →
↑
234.01 m
↓
↑
234.01 m
↓
S 67.479131°
E105.117187°		 ← 233.97 m →
54 753 m²		 S 67.479131°
E105.122681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51904 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791999816894531 y=0.756858825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791999816894531 × 216)
    floor (0.791999816894531 × 65536)
    floor (51904.5)     		tx = 51904
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756858825683594 × 216)
    floor (0.756858825683594 × 65536)
    floor (49601.5)     		ty = 49601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51904 / 49601 ti = "16/51904/49601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51904/49601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51904 ÷ 216
    51904 ÷ 65536     		x = 0.7919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49601 ÷ 216
    49601 ÷ 65536     		y = 0.756851196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7919921875 × 2 - 1) × π
    0.583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83464102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756851196289062 × 2 - 1) × π
    -0.513702392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61384366260881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83464102} λ = 1.83464102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61384366260881))-π/2
    2×atan(0.199120788181042)-π/2
    2×0.196550021108571-π/2
    0.393100042217141-1.57079632675     		φ = -1.17769628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83464102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.117187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17769628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.477026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51904 KachelY 49601 1.83464102 -1.17769628 105.117187 -67.477026
    Oben rechts KachelX + 1 51905 KachelY 49601 1.83473690 -1.17769628 105.122681 -67.477026
    Unten links KachelX 51904 KachelY + 1 49602 1.83464102 -1.17773301 105.117187 -67.479131
    Unten rechts KachelX + 1 51905 KachelY + 1 49602 1.83473690 -1.17773301 105.122681 -67.479131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17769628--1.17773301) × R
    3.67300000001514e-05 × 6371000     		dl = 234.006830000964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17769628--1.17773301) × R
    3.67300000001514e-05 × 6371000     		dr = 234.006830000964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83464102-1.83473690) × cos(-1.17769628) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383053845038186 × 6371000     		do = 233.989008161113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83464102-1.83473690) × cos(-1.17773301) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		du = 233.968282755383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17769628)-sin(-1.17773301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383053845038186-0.383019916323255)×R²
    abs(1.83473690-1.83464102)×3.39287149312417e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.39287149312417e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.39287149312417e-05×40589641000000     		ar = 54752.6011178875m²