Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51903 / 49602
↖ ↑ ↗
← S 67.479131°
E105.111694°		 ← 233.94 m → S 67.479131°
E105.117187°		 →
↑
233.94 m
↓
↑
233.94 m
↓
S 67.481235°
E105.111694°		 ← 233.92 m →
54 727 m²		 S 67.481235°
E105.117187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51903 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791984558105469 y=0.756874084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791984558105469 × 216)
    floor (0.791984558105469 × 65536)
    floor (51903.5)     		tx = 51903
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756874084472656 × 216)
    floor (0.756874084472656 × 65536)
    floor (49602.5)     		ty = 49602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51903 / 49602 ti = "16/51903/49602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51903/49602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51903 ÷ 216
    51903 ÷ 65536     		x = 0.791976928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49602 ÷ 216
    49602 ÷ 65536     		y = 0.756866455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791976928710938 × 2 - 1) × π
    0.583953857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83454515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756866455078125 × 2 - 1) × π
    -0.51373291015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61393953640805
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83454515} λ = 1.83454515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61393953640805))-π/2
    2×atan(0.19910169862968)-π/2
    2×0.196531659508133-π/2
    0.393063319016265-1.57079632675     		φ = -1.17773301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83454515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.111694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17773301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.479131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51903 KachelY 49602 1.83454515 -1.17773301 105.111694 -67.479131
    Oben rechts KachelX + 1 51904 KachelY 49602 1.83464102 -1.17773301 105.117187 -67.479131
    Unten links KachelX 51903 KachelY + 1 49603 1.83454515 -1.17776973 105.111694 -67.481235
    Unten rechts KachelX + 1 51904 KachelY + 1 49603 1.83464102 -1.17776973 105.117187 -67.481235
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17773301--1.17776973) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dl = 233.943119999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17773301--1.17776973) × R
    3.67199999999901e-05 × 6371000     		dr = 233.943119999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83454515-1.83464102) × cos(-1.17773301) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.383019916323255 × 6371000     		do = 233.943880556662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83454515-1.83464102) × cos(-1.17776973) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.382985996329136 × 6371000     		du = 233.923162639096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17773301)-sin(-1.17776973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383019916323255-0.382985996329136)×R²
    abs(1.83464102-1.83454515)×3.39199941190027e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.39199941190027e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.39199941190027e-05×40589641000000     		ar = 54727.1379212169m²