Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51902 / 50107
↖ ↑ ↗
← S 68.518179°
E105.106201°		 ← 223.70 m → S 68.518179°
E105.111694°		 →
↑
223.69 m
↓
↑
223.69 m
↓
S 68.520191°
E105.106201°		 ← 223.68 m →
50 036 m²		 S 68.520191°
E105.111694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791969299316406 y=0.764579772949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791969299316406 × 216)
    floor (0.791969299316406 × 65536)
    floor (51902.5)     		tx = 51902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764579772949219 × 216)
    floor (0.764579772949219 × 65536)
    floor (50107.5)     		ty = 50107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51902 / 50107 ti = "16/51902/50107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51902/50107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51902 ÷ 216
    51902 ÷ 65536     		x = 0.791961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50107 ÷ 216
    50107 ÷ 65536     		y = 0.764572143554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791961669921875 × 2 - 1) × π
    0.58392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83444927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764572143554688 × 2 - 1) × π
    -0.529144287109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66235580502431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83444927} λ = 1.83444927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66235580502431))-π/2
    2×atan(0.189691576941104)-π/2
    2×0.18746425276323-π/2
    0.374928505526459-1.57079632675     		φ = -1.19586782
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83444927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.106201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19586782 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.518179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51902 KachelY 50107 1.83444927 -1.19586782 105.106201 -68.518179
    Oben rechts KachelX + 1 51903 KachelY 50107 1.83454515 -1.19586782 105.111694 -68.518179
    Unten links KachelX 51902 KachelY + 1 50108 1.83444927 -1.19590293 105.106201 -68.520191
    Unten rechts KachelX + 1 51903 KachelY + 1 50108 1.83454515 -1.19590293 105.111694 -68.520191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19586782--1.19590293) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dl = 223.685810000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19586782--1.19590293) × R
    3.51100000000049e-05 × 6371000     		dr = 223.685810000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83444927-1.83454515) × cos(-1.19586782) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.36620600317778 × 6371000     		do = 223.697479026403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83444927-1.83454515) × cos(-1.19590293) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.366173331910161 × 6371000     		du = 223.677521734225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19586782)-sin(-1.19590293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36620600317778-0.366173331910161)×R²
    abs(1.83454515-1.83444927)×3.26712676187446e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.26712676187446e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.26712676187446e-05×40589641000000     		ar = 50035.7197142322m²