Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51902 / 49605
↖ ↑ ↗
← S 67.485442°
E105.106201°		 ← 233.91 m → S 67.485442°
E105.111694°		 →
↑
233.88 m
↓
↑
233.88 m
↓
S 67.487545°
E105.106201°		 ← 233.89 m →
54 703 m²		 S 67.487545°
E105.111694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51902 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791969299316406 y=0.756919860839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791969299316406 × 216)
    floor (0.791969299316406 × 65536)
    floor (51902.5)     		tx = 51902
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756919860839844 × 216)
    floor (0.756919860839844 × 65536)
    floor (49605.5)     		ty = 49605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51902 / 49605 ti = "16/51902/49605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51902/49605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51902 ÷ 216
    51902 ÷ 65536     		x = 0.791961669921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49605 ÷ 216
    49605 ÷ 65536     		y = 0.756912231445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791961669921875 × 2 - 1) × π
    0.58392333984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.83444927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756912231445312 × 2 - 1) × π
    -0.513824462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61422715780577
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83444927} λ = 1.83444927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61422715780577))-π/2
    2×atan(0.199044440955492)-π/2
    2×0.196476584462802-π/2
    0.392953168925605-1.57079632675     		φ = -1.17784316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83444927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.106201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17784316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.485442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51902 KachelY 49605 1.83444927 -1.17784316 105.106201 -67.485442
    Oben rechts KachelX + 1 51903 KachelY 49605 1.83454515 -1.17784316 105.111694 -67.485442
    Unten links KachelX 51902 KachelY + 1 49606 1.83444927 -1.17787987 105.106201 -67.487545
    Unten rechts KachelX + 1 51903 KachelY + 1 49606 1.83454515 -1.17787987 105.111694 -67.487545
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17784316--1.17787987) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dl = 233.879410000324m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17784316--1.17787987) × R
    3.67100000000509e-05 × 6371000     		dr = 233.879410000324m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83444927-1.83454515) × cos(-1.17784316) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.382918164029559 × 6371000     		do = 233.906127216727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83444927-1.83454515) × cos(-1.17787987) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.382884251724474 × 6371000     		du = 233.885411834976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17784316)-sin(-1.17787987))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382918164029559-0.382884251724474)×R²
    abs(1.83454515-1.83444927)×3.39123050851486e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.39123050851486e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.39123050851486e-05×40589641000000     		ar = 54703.4045842696m²