Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51898 / 49657
↖ ↑ ↗
← S 67.594569°
E105.084229°		 ← 232.81 m → S 67.594569°
E105.089721°		 →
↑
232.80 m
↓
↑
232.80 m
↓
S 67.596662°
E105.084229°		 ← 232.79 m →
54 194 m²		 S 67.596662°
E105.089721°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51898 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791908264160156 y=0.757713317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791908264160156 × 216)
    floor (0.791908264160156 × 65536)
    floor (51898.5)     		tx = 51898
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757713317871094 × 216)
    floor (0.757713317871094 × 65536)
    floor (49657.5)     		ty = 49657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51898 / 49657 ti = "16/51898/49657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51898/49657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51898 ÷ 216
    51898 ÷ 65536     		x = 0.791900634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49657 ÷ 216
    49657 ÷ 65536     		y = 0.757705688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791900634765625 × 2 - 1) × π
    0.58380126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83406578
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757705688476562 × 2 - 1) × π
    -0.515411376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61921259536626
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83406578} λ = 1.83406578}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61921259536626))-π/2
    2×atan(0.198054586801586)-π/2
    2×0.19552427233725-π/2
    0.3910485446745-1.57079632675     		φ = -1.17974778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83406578} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.084229°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17974778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.594569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51898 KachelY 49657 1.83406578 -1.17974778 105.084229 -67.594569
    Oben rechts KachelX + 1 51899 KachelY 49657 1.83416165 -1.17974778 105.089721 -67.594569
    Unten links KachelX 51898 KachelY + 1 49658 1.83406578 -1.17978432 105.084229 -67.596662
    Unten rechts KachelX + 1 51899 KachelY + 1 49658 1.83416165 -1.17978432 105.089721 -67.596662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17974778--1.17978432) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dl = 232.796339999833m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17974778--1.17978432) × R
    3.65399999999738e-05 × 6371000     		dr = 232.796339999833m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83406578-1.83416165) × cos(-1.17974778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381158016376606 × 6371000     		do = 232.806654840286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83406578-1.83416165) × cos(-1.17978432) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381124234530188 × 6371000     		du = 232.786021301645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17974778)-sin(-1.17978432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381158016376606-0.381124234530188)×R²
    abs(1.83416165-1.83406578)×3.37818464185013e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.37818464185013e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.37818464185013e-05×40589641000000     		ar = 54194.135474427m²