Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51895 / 49655
↖ ↑ ↗
← S 67.590381°
E105.067749°		 ← 232.85 m → S 67.590381°
E105.073242°		 →
↑
232.86 m
↓
↑
232.86 m
↓
S 67.592475°
E105.067749°		 ← 232.83 m →
54 219 m²		 S 67.592475°
E105.073242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49655 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791862487792969 y=0.757682800292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791862487792969 × 216)
    floor (0.791862487792969 × 65536)
    floor (51895.5)     		tx = 51895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757682800292969 × 216)
    floor (0.757682800292969 × 65536)
    floor (49655.5)     		ty = 49655
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51895 / 49655 ti = "16/51895/49655"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51895/49655.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51895 ÷ 216
    51895 ÷ 65536     		x = 0.791854858398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49655 ÷ 216
    49655 ÷ 65536     		y = 0.757675170898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791854858398438 × 2 - 1) × π
    0.583709716796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.83377816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757675170898438 × 2 - 1) × π
    -0.515350341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61902084776778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83377816} λ = 1.83377816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61902084776778))-π/2
    2×atan(0.198092566934157)-π/2
    2×0.195560818643403-π/2
    0.391121637286806-1.57079632675     		φ = -1.17967469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83377816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.067749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17967469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.590381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51895 KachelY 49655 1.83377816 -1.17967469 105.067749 -67.590381
    Oben rechts KachelX + 1 51896 KachelY 49655 1.83387403 -1.17967469 105.073242 -67.590381
    Unten links KachelX 51895 KachelY + 1 49656 1.83377816 -1.17971124 105.067749 -67.592475
    Unten rechts KachelX + 1 51896 KachelY + 1 49656 1.83387403 -1.17971124 105.073242 -67.592475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17967469--1.17971124) × R
    3.65500000001351e-05 × 6371000     		dl = 232.860050000861m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17967469--1.17971124) × R
    3.65500000001351e-05 × 6371000     		dr = 232.860050000861m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83377816-1.83387403) × cos(-1.17967469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381225587787485 × 6371000     		do = 232.847926631652m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83377816-1.83387403) × cos(-1.17971124) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.381191797714113 × 6371000     		du = 232.827288068089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17967469)-sin(-1.17971124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381225587787485-0.381191797714113)×R²
    abs(1.83387403-1.83377816)×3.3790073371287e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.3790073371287e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.3790073371287e-05×40589641000000     		ar = 54218.576895794m²