Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51892 / 49716
↖ ↑ ↗
← S 67.717778°
E105.051270°		 ← 231.59 m → S 67.717778°
E105.056763°		 →
↑
231.59 m
↓
↑
231.59 m
↓
S 67.719861°
E105.051270°		 ← 231.57 m →
53 631 m²		 S 67.719861°
E105.056763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51892 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791816711425781 y=0.758613586425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791816711425781 × 216)
    floor (0.791816711425781 × 65536)
    floor (51892.5)     		tx = 51892
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758613586425781 × 216)
    floor (0.758613586425781 × 65536)
    floor (49716.5)     		ty = 49716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51892 / 49716 ti = "16/51892/49716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51892/49716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51892 ÷ 216
    51892 ÷ 65536     		x = 0.79180908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49716 ÷ 216
    49716 ÷ 65536     		y = 0.75860595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79180908203125 × 2 - 1) × π
    0.5836181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.83349054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75860595703125 × 2 - 1) × π
    -0.5172119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.62486914952142
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83349054} λ = 1.83349054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62486914952142))-π/2
    2×atan(0.196937442876951)-π/2
    2×0.194449066560471-π/2
    0.388898133120941-1.57079632675     		φ = -1.18189819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83349054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 105.051270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18189819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.717778°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51892 KachelY 49716 1.83349054 -1.18189819 105.051270 -67.717778
    Oben rechts KachelX + 1 51893 KachelY 49716 1.83358641 -1.18189819 105.056763 -67.717778
    Unten links KachelX 51892 KachelY + 1 49717 1.83349054 -1.18193454 105.051270 -67.719861
    Unten rechts KachelX + 1 51893 KachelY + 1 49717 1.83358641 -1.18193454 105.056763 -67.719861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18189819--1.18193454) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dl = 231.585850000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18189819--1.18193454) × R
    3.63500000000183e-05 × 6371000     		dr = 231.585850000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83349054-1.83358641) × cos(-1.18189819) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.379169061274424 × 6371000     		do = 231.59182538933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83349054-1.83358641) × cos(-1.18193454) × R
    9.58700000002199e-05 × 0.379135425372433 × 6371000     		du = 231.571280991761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18189819)-sin(-1.18193454))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379169061274424-0.379135425372433)×R²
    abs(1.83358641-1.83349054)×3.36359019912913e-05×R²
    9.58700000002199e-05×3.36359019912913e-05×6371000²
    9.58700000002199e-05×3.36359019912913e-05×40589641000000     		ar = 53631.0108459641m²