Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5189 / 3018
↖ ↑ ↗
← N 81.184599°
W122.991943°		 ← 187.21 m → N 81.184599°
W122.980957°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
N 81.182915°
W122.991943°		 ← 187.24 m →
35 057 m²		 N 81.182915°
W122.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158370971679688 y=0.0921173095703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158370971679688 × 215)
    floor (0.158370971679688 × 32768)
    floor (5189.5)     		tx = 5189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0921173095703125 × 215)
    floor (0.0921173095703125 × 32768)
    floor (3018.5)     		ty = 3018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5189 / 3018 ti = "15/5189/3018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5189/3018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5189 ÷ 215
    5189 ÷ 32768     		x = 0.158355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3018 ÷ 215
    3018 ÷ 32768     		y = 0.09210205078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.68328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14661436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09210205078125 × 2 - 1) × π
    0.8157958984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.56289840128668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14661436} λ = -2.14661436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56289840128668))-π/2
    2×atan(12.9733648927822)-π/2
    2×1.49386743865353-π/2
    2.98773487730707-1.57079632675     		φ = 1.41693855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14661436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.991943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41693855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.184599°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5189 KachelY 3018 -2.14661436 1.41693855 -122.991943 81.184599
    Oben rechts KachelX + 1 5190 KachelY 3018 -2.14642262 1.41693855 -122.980957 81.184599
    Unten links KachelX 5189 KachelY + 1 3019 -2.14661436 1.41690916 -122.991943 81.182915
    Unten rechts KachelX + 1 5190 KachelY + 1 3019 -2.14642262 1.41690916 -122.980957 81.182915
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41693855-1.41690916) × R
    2.9390000000129e-05 × 6371000     		dl = 187.243690000822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41693855-1.41690916) × R
    2.9390000000129e-05 × 6371000     		dr = 187.243690000822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14661436--2.14642262) × cos(1.41693855) × R
    0.000191739999999996 × 0.153251469131349 × 6371000     		do = 187.208246159917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14661436--2.14642262) × cos(1.41690916) × R
    0.000191739999999996 × 0.153280511887634 × 6371000     		du = 187.243724080609m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41693855)-sin(1.41690916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153251469131349-0.153280511887634)×R²
    abs(-2.14642262--2.14661436)×2.90427562854301e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90427562854301e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90427562854301e-05×40589641000000     		ar = 35056.8843200708m²