Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5189 / 2747
↖ ↑ ↗
← N 81.629352°
W122.991943°		 ← 177.83 m → N 81.629352°
W122.980957°		 →
↑
177.81 m
↓
↑
177.81 m
↓
N 81.627753°
W122.991943°		 ← 177.87 m →
31 624 m²		 N 81.627753°
W122.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5189 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158370971679688 y=0.0838470458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158370971679688 × 215)
    floor (0.158370971679688 × 32768)
    floor (5189.5)     		tx = 5189
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0838470458984375 × 215)
    floor (0.0838470458984375 × 32768)
    floor (2747.5)     		ty = 2747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5189 / 2747 ti = "15/5189/2747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5189/2747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5189 ÷ 215
    5189 ÷ 32768     		x = 0.158355712890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2747 ÷ 215
    2747 ÷ 32768     		y = 0.083831787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158355712890625 × 2 - 1) × π
    -0.68328857421875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14661436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.083831787109375 × 2 - 1) × π
    0.83233642578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61486200047482
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14661436} λ = -2.14661436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61486200047482))-π/2
    2×atan(13.6653304386555)-π/2
    2×1.4977486447925-π/2
    2.99549728958501-1.57079632675     		φ = 1.42470096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14661436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -122.991943°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42470096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.629352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5189 KachelY 2747 -2.14661436 1.42470096 -122.991943 81.629352
    Oben rechts KachelX + 1 5190 KachelY 2747 -2.14642262 1.42470096 -122.980957 81.629352
    Unten links KachelX 5189 KachelY + 1 2748 -2.14661436 1.42467305 -122.991943 81.627753
    Unten rechts KachelX + 1 5190 KachelY + 1 2748 -2.14642262 1.42467305 -122.980957 81.627753
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42470096-1.42467305) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dl = 177.814610000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42470096-1.42467305) × R
    2.79100000000199e-05 × 6371000     		dr = 177.814610000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14661436--2.14642262) × cos(1.42470096) × R
    0.000191739999999996 × 0.145576214723377 × 6371000     		do = 177.832343111861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14661436--2.14642262) × cos(1.42467305) × R
    0.000191739999999996 × 0.145603827342562 × 6371000     		du = 177.866074012053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42470096)-sin(1.42467305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145576214723377-0.145603827342562)×R²
    abs(-2.14642262--2.14661436)×2.76126191853521e-05×R²
    0.000191739999999996×2.76126191853521e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.76126191853521e-05×40589641000000     		ar = 31624.1876610851m²