Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5188 / 2884
↖ ↑ ↗
← N 81.407370°
W123.002930°		 ← 182.52 m → N 81.407370°
W122.991943°		 →
↑
182.53 m
↓
↑
182.53 m
↓
N 81.405728°
W123.002930°		 ← 182.56 m →
33 319 m²		 N 81.405728°
W122.991943°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5188 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2884 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158340454101562 y=0.0880279541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158340454101562 × 215)
    floor (0.158340454101562 × 32768)
    floor (5188.5)     		tx = 5188
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0880279541015625 × 215)
    floor (0.0880279541015625 × 32768)
    floor (2884.5)     		ty = 2884
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5188 / 2884 ti = "15/5188/2884"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5188/2884.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5188 ÷ 215
    5188 ÷ 32768     		x = 0.1583251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2884 ÷ 215
    2884 ÷ 32768     		y = 0.0880126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1583251953125 × 2 - 1) × π
    -0.683349609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14680611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0880126953125 × 2 - 1) × π
    0.823974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.58859257948303
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14680611} λ = -2.14680611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58859257948303))-π/2
    2×atan(13.311024204986)-π/2
    2×1.49581148419456-π/2
    2.99162296838911-1.57079632675     		φ = 1.42082664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14680611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.002930°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42082664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.407370°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5188 KachelY 2884 -2.14680611 1.42082664 -123.002930 81.407370
    Oben rechts KachelX + 1 5189 KachelY 2884 -2.14661436 1.42082664 -122.991943 81.407370
    Unten links KachelX 5188 KachelY + 1 2885 -2.14680611 1.42079799 -123.002930 81.405728
    Unten rechts KachelX + 1 5189 KachelY + 1 2885 -2.14661436 1.42079799 -122.991943 81.405728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42082664-1.42079799) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dl = 182.529149999767m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42082664-1.42079799) × R
    2.86499999999634e-05 × 6371000     		dr = 182.529149999767m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14680611--2.14661436) × cos(1.42082664) × R
    0.000191749999999935 × 0.149408159584459 × 6371000     		do = 182.522872018577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14680611--2.14661436) × cos(1.42079799) × R
    0.000191749999999935 × 0.14943648794429 × 6371000     		du = 182.557479054834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42082664)-sin(1.42079799))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149408159584459-0.14943648794429)×R²
    abs(-2.14661436--2.14680611)×2.83283598301876e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83283598301876e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83283598301876e-05×40589641000000     		ar = 33318.9030840078m²