Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51856 / 48944
↖ ↑ ↗
← S 66.053716°
E104.853516°		 ← 247.91 m → S 66.053716°
E104.859009°		 →
↑
247.90 m
↓
↑
247.90 m
↓
S 66.055946°
E104.853516°		 ← 247.88 m →
61 452 m²		 S 66.055946°
E104.859009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.791267395019531 y=0.746833801269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.791267395019531 × 216)
    floor (0.791267395019531 × 65536)
    floor (51856.5)     		tx = 51856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.746833801269531 × 216)
    floor (0.746833801269531 × 65536)
    floor (48944.5)     		ty = 48944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51856 / 48944 ti = "16/51856/48944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51856/48944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51856 ÷ 216
    51856 ÷ 65536     		x = 0.791259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48944 ÷ 216
    48944 ÷ 65536     		y = 0.746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.791259765625 × 2 - 1) × π
    0.58251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.83003908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.746826171875 × 2 - 1) × π
    -0.49365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55085457650806
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.83003908} λ = 1.83003908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55085457650806))-π/2
    2×atan(0.21206666917481)-π/2
    2×0.208970747792025-π/2
    0.41794149558405-1.57079632675     		φ = -1.15285483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.83003908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.853516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15285483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.053716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51856 KachelY 48944 1.83003908 -1.15285483 104.853516 -66.053716
    Oben rechts KachelX + 1 51857 KachelY 48944 1.83013495 -1.15285483 104.859009 -66.053716
    Unten links KachelX 51856 KachelY + 1 48945 1.83003908 -1.15289374 104.853516 -66.055946
    Unten rechts KachelX + 1 51857 KachelY + 1 48945 1.83013495 -1.15289374 104.859009 -66.055946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15285483--1.15289374) × R
    3.89099999997811e-05 × 6371000     		dl = 247.895609998605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15285483--1.15289374) × R
    3.89099999997811e-05 × 6371000     		dr = 247.895609998605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.83003908-1.83013495) × cos(-1.15285483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405879993947844 × 6371000     		do = 247.906536391012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.83003908-1.83013495) × cos(-1.15289374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.405844432765106 × 6371000     		du = 247.884816055509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15285483)-sin(-1.15289374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.405879993947844-0.405844432765106)×R²
    abs(1.83013495-1.83003908)×3.55611827376201e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.55611827376201e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.55611827376201e-05×40589641000000     		ar = 61452.2498811167m²