Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5185 / 3139
↖ ↑ ↗
← N 80.978522°
W123.035889°		 ← 191.56 m → N 80.978522°
W123.024902°		 →
↑
191.58 m
↓
↑
191.58 m
↓
N 80.976799°
W123.035889°		 ← 191.60 m →
36 702 m²		 N 80.976799°
W123.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158248901367188 y=0.0958099365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158248901367188 × 215)
    floor (0.158248901367188 × 32768)
    floor (5185.5)     		tx = 5185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0958099365234375 × 215)
    floor (0.0958099365234375 × 32768)
    floor (3139.5)     		ty = 3139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5185 / 3139 ti = "15/5185/3139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5185/3139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5185 ÷ 215
    5185 ÷ 32768     		x = 0.158233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3139 ÷ 215
    3139 ÷ 32768     		y = 0.095794677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.68353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14738136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.095794677734375 × 2 - 1) × π
    0.80841064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.53969694187058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14738136} λ = -2.14738136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.53969694187058))-π/2
    2×atan(12.6758288756862)-π/2
    2×1.49206907650584-π/2
    2.98413815301168-1.57079632675     		φ = 1.41334183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14738136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41334183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.978522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5185 KachelY 3139 -2.14738136 1.41334183 -123.035889 80.978522
    Oben rechts KachelX + 1 5186 KachelY 3139 -2.14718961 1.41334183 -123.024902 80.978522
    Unten links KachelX 5185 KachelY + 1 3140 -2.14738136 1.41331176 -123.035889 80.976799
    Unten rechts KachelX + 1 5186 KachelY + 1 3140 -2.14718961 1.41331176 -123.024902 80.976799
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41334183-1.41331176) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dl = 191.575969999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41334183-1.41331176) × R
    3.00699999999932e-05 × 6371000     		dr = 191.575969999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14738136--2.14718961) × cos(1.41334183) × R
    0.000191749999999935 × 0.156804702956326 × 6371000     		do = 191.558779715974m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14738136--2.14718961) × cos(1.41331176) × R
    0.000191749999999935 × 0.15683440090839 × 6371000     		du = 191.59505989986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41334183)-sin(1.41331176))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.156804702956326-0.15683440090839)×R²
    abs(-2.14718961--2.14738136)×2.96979520637564e-05×R²
    0.000191749999999935×2.96979520637564e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.96979520637564e-05×40589641000000     		ar = 36701.5342449168m²