Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5185 / 3008
↖ ↑ ↗
← N 81.201420°
W123.035889°		 ← 186.86 m → N 81.201420°
W123.024902°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 81.199739°
W123.035889°		 ← 186.90 m →
34 921 m²		 N 81.199739°
W123.024902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5185 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158248901367188 y=0.0918121337890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158248901367188 × 215)
    floor (0.158248901367188 × 32768)
    floor (5185.5)     		tx = 5185
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0918121337890625 × 215)
    floor (0.0918121337890625 × 32768)
    floor (3008.5)     		ty = 3008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5185 / 3008 ti = "15/5185/3008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5185/3008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5185 ÷ 215
    5185 ÷ 32768     		x = 0.158233642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3008 ÷ 215
    3008 ÷ 32768     		y = 0.091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158233642578125 × 2 - 1) × π
    -0.68353271484375 × 3.1415926535     		Λ = -2.14738136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.091796875 × 2 - 1) × π
    0.81640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.56481587727148
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14738136} λ = -2.14738136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.56481587727148))-π/2
    2×atan(12.9982648733344)-π/2
    2×1.49401422754322-π/2
    2.98802845508643-1.57079632675     		φ = 1.41723213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14738136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.035889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41723213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.201420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5185 KachelY 3008 -2.14738136 1.41723213 -123.035889 81.201420
    Oben rechts KachelX + 1 5186 KachelY 3008 -2.14718961 1.41723213 -123.024902 81.201420
    Unten links KachelX 5185 KachelY + 1 3009 -2.14738136 1.41720280 -123.035889 81.199739
    Unten rechts KachelX + 1 5186 KachelY + 1 3009 -2.14718961 1.41720280 -123.024902 81.199739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41723213-1.41720280) × R
    2.93299999998275e-05 × 6371000     		dl = 186.861429998901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41723213-1.41720280) × R
    2.93299999998275e-05 × 6371000     		dr = 186.861429998901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14738136--2.14718961) × cos(1.41723213) × R
    0.000191749999999935 × 0.152961350526349 × 6371000     		do = 186.863589535933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14738136--2.14718961) × cos(1.41720280) × R
    0.000191749999999935 × 0.152990335310149 × 6371000     		du = 186.898998485476m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41723213)-sin(1.41720280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152961350526349-0.152990335310149)×R²
    abs(-2.14718961--2.14738136)×2.89847838001456e-05×R²
    0.000191749999999935×2.89847838001456e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.89847838001456e-05×40589641000000     		ar = 34920.905841752m²