Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51832 / 49726
↖ ↑ ↗
← S 67.738598°
E104.721680°		 ← 231.39 m → S 67.738598°
E104.727173°		 →
↑
231.33 m
↓
↑
231.33 m
↓
S 67.740678°
E104.721680°		 ← 231.37 m →
53 524 m²		 S 67.740678°
E104.727173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790901184082031 y=0.758766174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790901184082031 × 216)
    floor (0.790901184082031 × 65536)
    floor (51832.5)     		tx = 51832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758766174316406 × 216)
    floor (0.758766174316406 × 65536)
    floor (49726.5)     		ty = 49726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51832 / 49726 ti = "16/51832/49726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51832/49726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51832 ÷ 216
    51832 ÷ 65536     		x = 0.7908935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49726 ÷ 216
    49726 ÷ 65536     		y = 0.758758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7908935546875 × 2 - 1) × π
    0.581787109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.82773811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.51751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.62582788751382
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82773811} λ = 1.82773811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62582788751382))-π/2
    2×atan(0.196748721949756)-π/2
    2×0.194267385274686-π/2
    0.388534770549372-1.57079632675     		φ = -1.18226156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82773811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18226156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.738598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51832 KachelY 49726 1.82773811 -1.18226156 104.721680 -67.738598
    Oben rechts KachelX + 1 51833 KachelY 49726 1.82783398 -1.18226156 104.727173 -67.738598
    Unten links KachelX 51832 KachelY + 1 49727 1.82773811 -1.18229787 104.721680 -67.740678
    Unten rechts KachelX + 1 51833 KachelY + 1 49727 1.82783398 -1.18229787 104.727173 -67.740678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18226156--1.18229787) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dl = 231.331010000251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18226156--1.18229787) × R
    3.63100000000394e-05 × 6371000     		dr = 231.331010000251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82773811-1.82783398) × cos(-1.18226156) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378832800027108 × 6371000     		do = 231.386441131408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82773811-1.82783398) × cos(-1.18229787) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.378799196138461 × 6371000     		du = 231.365916287198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18226156)-sin(-1.18229787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.378832800027108-0.378799196138461)×R²
    abs(1.82783398-1.82773811)×3.36038886470935e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.36038886470935e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.36038886470935e-05×40589641000000     		ar = 53524.4851165576m²