Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 51815 / 48802
↖ ↑ ↗
← S 65.735142°
E104.628296°		 ← 251.03 m → S 65.735142°
E104.633789°		 →
↑
251.02 m
↓
↑
251.02 m
↓
S 65.737399°
E104.628296°		 ← 251.01 m →
63 011 m²		 S 65.737399°
E104.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790641784667969 y=0.744667053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790641784667969 × 216)
    floor (0.790641784667969 × 65536)
    floor (51815.5)     		tx = 51815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744667053222656 × 216)
    floor (0.744667053222656 × 65536)
    floor (48802.5)     		ty = 48802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51815 / 48802 ti = "16/51815/48802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51815/48802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51815 ÷ 216
    51815 ÷ 65536     		x = 0.790634155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48802 ÷ 216
    48802 ÷ 65536     		y = 0.744659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790634155273438 × 2 - 1) × π
    0.581268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82610825
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.48931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53724049701596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82610825} λ = 1.82610825}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53724049701596))-π/2
    2×atan(0.214973503708097)-π/2
    2×0.211750834266776-π/2
    0.423501668533551-1.57079632675     		φ = -1.14729466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82610825} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.628296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14729466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.735142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51815 KachelY 48802 1.82610825 -1.14729466 104.628296 -65.735142
    Oben rechts KachelX + 1 51816 KachelY 48802 1.82620413 -1.14729466 104.633789 -65.735142
    Unten links KachelX 51815 KachelY + 1 48803 1.82610825 -1.14733406 104.628296 -65.737399
    Unten rechts KachelX + 1 51816 KachelY + 1 48803 1.82620413 -1.14733406 104.633789 -65.737399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14729466--1.14733406) × R
    3.93999999999117e-05 × 6371000     		dl = 251.017399999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14729466--1.14733406) × R
    3.93999999999117e-05 × 6371000     		dr = 251.017399999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82610825-1.82620413) × cos(-1.14729466) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410955279838973 × 6371000     		do = 251.032640903286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82610825-1.82620413) × cos(-1.14733406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410919360293149 × 6371000     		du = 251.010699395559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14729466)-sin(-1.14733406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410955279838973-0.410919360293149)×R²
    abs(1.82620413-1.82610825)×3.59195458234929e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.59195458234929e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.59195458234929e-05×40589641000000     		ar = 63010.8069927988m²