Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5181 / 1349
↖ ↑ ↗
← N 76.132429°
E 47.680664°		 ← 1 171.19 m → N 76.132429°
E 47.724610°		 →
↑
1 171.56 m
↓
↑
1 171.56 m
↓
N 76.121893°
E 47.680664°		 ← 1 172.06 m →
1 372 631 m²		 N 76.121893°
E 47.724610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5181 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1349 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.63250732421875 y=0.16473388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.63250732421875 × 213)
    floor (0.63250732421875 × 8192)
    floor (5181.5)     		tx = 5181
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16473388671875 × 213)
    floor (0.16473388671875 × 8192)
    floor (1349.5)     		ty = 1349
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5181 / 1349 ti = "13/5181/1349"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5181/1349.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5181 ÷ 213
    5181 ÷ 8192     		x = 0.6324462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1349 ÷ 213
    1349 ÷ 8192     		y = 0.1646728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6324462890625 × 2 - 1) × π
    0.264892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.83218458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1646728515625 × 2 - 1) × π
    0.670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.10692261210071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.83218458} λ = 0.83218458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.10692261210071))-π/2
    2×atan(8.22289726340035)-π/2
    2×1.4497789457318-π/2
    2.89955789146361-1.57079632675     		φ = 1.32876156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.83218458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 47.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32876156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.132429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5181 KachelY 1349 0.83218458 1.32876156 47.680664 76.132429
    Oben rechts KachelX + 1 5182 KachelY 1349 0.83295157 1.32876156 47.724610 76.132429
    Unten links KachelX 5181 KachelY + 1 1350 0.83218458 1.32857767 47.680664 76.121893
    Unten rechts KachelX + 1 5182 KachelY + 1 1350 0.83295157 1.32857767 47.724610 76.121893
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32876156-1.32857767) × R
    0.000183889999999964 × 6371000     		dl = 1171.56318999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32876156-1.32857767) × R
    0.000183889999999964 × 6371000     		dr = 1171.56318999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.83218458-0.83295157) × cos(1.32876156) × R
    0.000766990000000023 × 0.239678579244088 × 6371000     		do = 1171.187769233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.83218458-0.83295157) × cos(1.32857767) × R
    0.000766990000000023 × 0.239857105219175 × 6371000     		du = 1172.06013521236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32876156)-sin(1.32857767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.239678579244088-0.239857105219175)×R²
    abs(0.83295157-0.83218458)×0.000178525975086774×R²
    0.000766990000000023×0.000178525975086774×6371000²
    0.000766990000000023×0.000178525975086774×40589641000000     		ar = 1372631.49881445m²