Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51804 / 49852
↖ ↑ ↗
← S 67.999341°
E104.567871°		 ← 228.84 m → S 67.999341°
E104.573364°		 →
↑
228.85 m
↓
↑
228.85 m
↓
S 68.001399°
E104.567871°		 ← 228.82 m →
52 366 m²		 S 68.001399°
E104.573364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790473937988281 y=0.760688781738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790473937988281 × 216)
    floor (0.790473937988281 × 65536)
    floor (51804.5)     		tx = 51804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760688781738281 × 216)
    floor (0.760688781738281 × 65536)
    floor (49852.5)     		ty = 49852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51804 / 49852 ti = "16/51804/49852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51804/49852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51804 ÷ 216
    51804 ÷ 65536     		x = 0.79046630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49852 ÷ 216
    49852 ÷ 65536     		y = 0.76068115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.79046630859375 × 2 - 1) × π
    0.5809326171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82505364
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76068115234375 × 2 - 1) × π
    -0.5213623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63790798621808
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82505364} λ = 1.82505364}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63790798621808))-π/2
    2×atan(0.194386275987871)-π/2
    2×0.191991967321589-π/2
    0.383983934643177-1.57079632675     		φ = -1.18681239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82505364} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.567871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18681239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.999341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51804 KachelY 49852 1.82505364 -1.18681239 104.567871 -67.999341
    Oben rechts KachelX + 1 51805 KachelY 49852 1.82514952 -1.18681239 104.573364 -67.999341
    Unten links KachelX 51804 KachelY + 1 49853 1.82505364 -1.18684831 104.567871 -68.001399
    Unten rechts KachelX + 1 51805 KachelY + 1 49853 1.82514952 -1.18684831 104.573364 -68.001399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18681239--1.18684831) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dl = 228.84631999979m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18681239--1.18684831) × R
    3.59199999999671e-05 × 6371000     		dr = 228.84631999979m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82505364-1.82514952) × cos(-1.18681239) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.374617257262857 × 6371000     		do = 228.835506032937m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82505364-1.82514952) × cos(-1.18684831) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.374583952731897 × 6371000     		du = 228.815161910909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18681239)-sin(-1.18684831))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374617257262857-0.374583952731897)×R²
    abs(1.82514952-1.82505364)×3.33045309601765e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.33045309601765e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.33045309601765e-05×40589641000000     		ar = 52365.8356076586m²