Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51800 / 49469
↖ ↑ ↗
← S 67.197646°
E104.545899°		 ← 236.71 m → S 67.197646°
E104.551392°		 →
↑
236.75 m
↓
↑
236.75 m
↓
S 67.199776°
E104.545899°		 ← 236.69 m →
56 038 m²		 S 67.199776°
E104.551392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790412902832031 y=0.754844665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790412902832031 × 216)
    floor (0.790412902832031 × 65536)
    floor (51800.5)     		tx = 51800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754844665527344 × 216)
    floor (0.754844665527344 × 65536)
    floor (49469.5)     		ty = 49469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51800 / 49469 ti = "16/51800/49469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51800/49469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51800 ÷ 216
    51800 ÷ 65536     		x = 0.7904052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49469 ÷ 216
    49469 ÷ 65536     		y = 0.754837036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7904052734375 × 2 - 1) × π
    0.580810546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82467015
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754837036132812 × 2 - 1) × π
    -0.509674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.60118832110912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82467015} λ = 1.82467015}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60118832110912))-π/2
    2×atan(0.201656742593766)-π/2
    2×0.198988072846409-π/2
    0.397976145692819-1.57079632675     		φ = -1.17282018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82467015} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.545899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17282018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.197646°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51800 KachelY 49469 1.82467015 -1.17282018 104.545899 -67.197646
    Oben rechts KachelX + 1 51801 KachelY 49469 1.82476602 -1.17282018 104.551392 -67.197646
    Unten links KachelX 51800 KachelY + 1 49470 1.82467015 -1.17285734 104.545899 -67.199776
    Unten rechts KachelX + 1 51801 KachelY + 1 49470 1.82476602 -1.17285734 104.551392 -67.199776
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17282018--1.17285734) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dl = 236.746359999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17282018--1.17285734) × R
    3.71599999999805e-05 × 6371000     		dr = 236.746359999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82467015-1.82476602) × cos(-1.17282018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387553453811441 × 6371000     		do = 236.712909809283m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82467015-1.82476602) × cos(-1.17285734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.387519197700703 × 6371000     		du = 236.691986595796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17282018)-sin(-1.17285734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387553453811441-0.387519197700703)×R²
    abs(1.82476602-1.82467015)×3.42561107388728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.42561107388728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.42561107388728e-05×40589641000000     		ar = 56038.4430217248m²