Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 518 / 1559
↖ ↑ ↗
← N 39.436193°
W134.472657°		 ← 7 548.04 m → N 39.436193°
W134.384765°		 →
↑
7 551.67 m
↓
↑
7 551.67 m
↓
N 39.368279°
W134.472657°		 ← 7 555.40 m →
57 028 137 m²		 N 39.368279°
W134.384765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1559 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1265869140625 y=0.3807373046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1265869140625 × 212)
    floor (0.1265869140625 × 4096)
    floor (518.5)     		tx = 518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3807373046875 × 212)
    floor (0.3807373046875 × 4096)
    floor (1559.5)     		ty = 1559
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 518 / 1559 ti = "12/518/1559"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/518/1559.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 518 ÷ 212
    518 ÷ 4096     		x = 0.12646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1559 ÷ 212
    1559 ÷ 4096     		y = 0.380615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.380615234375 × 2 - 1) × π
    0.23876953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.750116605254639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34699061} λ = -2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.750116605254639))-π/2
    2×atan(2.11724688433144)-π/2
    2×1.12954386953415-π/2
    2.25908773906831-1.57079632675     		φ = 0.68829141
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.68829141 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.436193°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 518 KachelY 1559 -2.34699061 0.68829141 -134.472657 39.436193
    Oben rechts KachelX + 1 519 KachelY 1559 -2.34545662 0.68829141 -134.384765 39.436193
    Unten links KachelX 518 KachelY + 1 1560 -2.34699061 0.68710609 -134.472657 39.368279
    Unten rechts KachelX + 1 519 KachelY + 1 1560 -2.34545662 0.68710609 -134.384765 39.368279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.68829141-0.68710609) × R
    0.00118532000000005 × 6371000     		dl = 7551.67372000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.68829141-0.68710609) × R
    0.00118532000000005 × 6371000     		dr = 7551.67372000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34699061--2.34545662) × cos(0.68829141) × R
    0.00153398999999999 × 0.772332469790943 × 6371000     		do = 7548.04406786671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34699061--2.34545662) × cos(0.68710609) × R
    0.00153398999999999 × 0.773084864262395 × 6371000     		du = 7555.39725687414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.68829141)-sin(0.68710609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.772332469790943-0.773084864262395)×R²
    abs(-2.34545662--2.34699061)×0.000752394471452589×R²
    0.00153398999999999×0.000752394471452589×6371000²
    0.00153398999999999×0.000752394471452589×40589641000000     		ar = 57028137.1437685m²