Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 518 / 1554
↖ ↑ ↗
← N 39.774770°
W134.472657°		 ← 7 511.23 m → N 39.774770°
W134.384765°		 →
↑
7 514.91 m
↓
↑
7 514.91 m
↓
N 39.707186°
W134.472657°		 ← 7 518.60 m →
56 473 921 m²		 N 39.707186°
W134.384765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.1265869140625 y=0.3795166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.1265869140625 × 212)
    floor (0.1265869140625 × 4096)
    floor (518.5)     		tx = 518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3795166015625 × 212)
    floor (0.3795166015625 × 4096)
    floor (1554.5)     		ty = 1554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 518 / 1554 ti = "12/518/1554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/518/1554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 518 ÷ 212
    518 ÷ 4096     		x = 0.12646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1554 ÷ 212
    1554 ÷ 4096     		y = 0.37939453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.12646484375 × 2 - 1) × π
    -0.7470703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.34699061
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.37939453125 × 2 - 1) × π
    0.2412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.757786509193848
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.34699061} λ = -2.34699061}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.757786509193848))-π/2
    2×atan(2.1335484001655)-π/2
    2×1.13249850675921-π/2
    2.26499701351843-1.57079632675     		φ = 0.69420069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.34699061} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -134.472657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.69420069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 39.774770°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 518 KachelY 1554 -2.34699061 0.69420069 -134.472657 39.774770
    Oben rechts KachelX + 1 519 KachelY 1554 -2.34545662 0.69420069 -134.384765 39.774770
    Unten links KachelX 518 KachelY + 1 1555 -2.34699061 0.69302114 -134.472657 39.707186
    Unten rechts KachelX + 1 519 KachelY + 1 1555 -2.34545662 0.69302114 -134.384765 39.707186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.69420069-0.69302114) × R
    0.00117954999999992 × 6371000     		dl = 7514.91304999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.69420069-0.69302114) × R
    0.00117954999999992 × 6371000     		dr = 7514.91304999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.34699061--2.34545662) × cos(0.69420069) × R
    0.00153398999999999 × 0.768565322869847 × 6371000     		do = 7511.22755155702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.34699061--2.34545662) × cos(0.69302114) × R
    0.00153398999999999 × 0.769319430290659 × 6371000     		du = 7518.59748130468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.69420069)-sin(0.69302114))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.768565322869847-0.769319430290659)×R²
    abs(-2.34545662--2.34699061)×0.000754107420811945×R²
    0.00153398999999999×0.000754107420811945×6371000²
    0.00153398999999999×0.000754107420811945×40589641000000     		ar = 56473920.687187m²