Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5179 / 2750
↖ ↑ ↗
← N 81.624553°
W123.101807°		 ← 177.94 m → N 81.624553°
W123.090820°		 →
↑
178.01 m
↓
↑
178.01 m
↓
N 81.622952°
W123.101807°		 ← 177.98 m →
31 678 m²		 N 81.622952°
W123.090820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5179 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.158065795898438 y=0.0839385986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.158065795898438 × 215)
    floor (0.158065795898438 × 32768)
    floor (5179.5)     		tx = 5179
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0839385986328125 × 215)
    floor (0.0839385986328125 × 32768)
    floor (2750.5)     		ty = 2750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5179 / 2750 ti = "15/5179/2750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5179/2750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5179 ÷ 215
    5179 ÷ 32768     		x = 0.158050537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2750 ÷ 215
    2750 ÷ 32768     		y = 0.08392333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.158050537109375 × 2 - 1) × π
    -0.68389892578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.14853184
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08392333984375 × 2 - 1) × π
    0.8321533203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.61428675767938
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14853184} λ = -2.14853184}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.61428675767938))-π/2
    2×atan(13.657471816298)-π/2
    2×1.49770676204208-π/2
    2.99541352408415-1.57079632675     		φ = 1.42461720
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14853184} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.101807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42461720 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.624553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5179 KachelY 2750 -2.14853184 1.42461720 -123.101807 81.624553
    Oben rechts KachelX + 1 5180 KachelY 2750 -2.14834009 1.42461720 -123.090820 81.624553
    Unten links KachelX 5179 KachelY + 1 2751 -2.14853184 1.42458926 -123.101807 81.622952
    Unten rechts KachelX + 1 5180 KachelY + 1 2751 -2.14834009 1.42458926 -123.090820 81.622952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42461720-1.42458926) × R
    2.79399999998375e-05 × 6371000     		dl = 178.005739998965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42461720-1.42458926) × R
    2.79399999998375e-05 × 6371000     		dr = 178.005739998965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14853184--2.14834009) × cos(1.42461720) × R
    0.000191749999999935 × 0.145659081920695 × 6371000     		do = 177.942851593226m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14853184--2.14834009) × cos(1.42458926) × R
    0.000191749999999935 × 0.145686723879354 × 6371000     		du = 177.976620094871m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42461720)-sin(1.42458926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145659081920695-0.145686723879354)×R²
    abs(-2.14834009--2.14853184)×2.76419586597021e-05×R²
    0.000191749999999935×2.76419586597021e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.76419586597021e-05×40589641000000     		ar = 31677.854470428m²