Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51783 / 49449
↖ ↑ ↗
← S 67.155031°
E104.452515°		 ← 237.16 m → S 67.155031°
E104.458008°		 →
↑
237.13 m
↓
↑
237.13 m
↓
S 67.157164°
E104.452515°		 ← 237.14 m →
56 234 m²		 S 67.157164°
E104.458008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51783 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.790153503417969 y=0.754539489746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.790153503417969 × 216)
    floor (0.790153503417969 × 65536)
    floor (51783.5)     		tx = 51783
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754539489746094 × 216)
    floor (0.754539489746094 × 65536)
    floor (49449.5)     		ty = 49449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51783 / 49449 ti = "16/51783/49449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51783/49449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51783 ÷ 216
    51783 ÷ 65536     		x = 0.790145874023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49449 ÷ 216
    49449 ÷ 65536     		y = 0.754531860351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.790145874023438 × 2 - 1) × π
    0.580291748046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82304029
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754531860351562 × 2 - 1) × π
    -0.509063720703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59927084512431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82304029} λ = 1.82304029}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59927084512431))-π/2
    2×atan(0.202043785509024)-π/2
    2×0.199359963615384-π/2
    0.398719927230769-1.57079632675     		φ = -1.17207640
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82304029} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.452515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17207640 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.155031°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51783 KachelY 49449 1.82304029 -1.17207640 104.452515 -67.155031
    Oben rechts KachelX + 1 51784 KachelY 49449 1.82313617 -1.17207640 104.458008 -67.155031
    Unten links KachelX 51783 KachelY + 1 49450 1.82304029 -1.17211362 104.452515 -67.157164
    Unten rechts KachelX + 1 51784 KachelY + 1 49450 1.82313617 -1.17211362 104.458008 -67.157164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17207640--1.17211362) × R
    3.722000000006e-05 × 6371000     		dl = 237.128620000382m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17207640--1.17211362) × R
    3.722000000006e-05 × 6371000     		dr = 237.128620000382m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82304029-1.82313617) × cos(-1.17207640) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.388238998083998 × 6371000     		do = 237.156366573172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82304029-1.82313617) × cos(-1.17211362) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.388204697399408 × 6371000     		du = 237.135413949225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17207640)-sin(-1.17211362))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.388238998083998-0.388204697399408)×R²
    abs(1.82313617-1.82304029)×3.43006845900939e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.43006845900939e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.43006845900939e-05×40589641000000     		ar = 56234.0777030266m²