Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51772 / 49860
↖ ↑ ↗
← S 68.015798°
E104.392090°		 ← 228.65 m → S 68.015798°
E104.397583°		 →
↑
228.66 m
↓
↑
228.66 m
↓
S 68.017854°
E104.392090°		 ← 228.63 m →
52 279 m²		 S 68.017854°
E104.397583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49860 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789985656738281 y=0.760810852050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789985656738281 × 216)
    floor (0.789985656738281 × 65536)
    floor (51772.5)     		tx = 51772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760810852050781 × 216)
    floor (0.760810852050781 × 65536)
    floor (49860.5)     		ty = 49860
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51772 / 49860 ti = "16/51772/49860"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51772/49860.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51772 ÷ 216
    51772 ÷ 65536     		x = 0.78997802734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49860 ÷ 216
    49860 ÷ 65536     		y = 0.76080322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78997802734375 × 2 - 1) × π
    0.5799560546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.82198568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.76080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.5216064453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.638674976612
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82198568} λ = 1.82198568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.638674976612))-π/2
    2×atan(0.194237240743085)-π/2
    2×0.191848354475785-π/2
    0.38369670895157-1.57079632675     		φ = -1.18709962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82198568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.392090°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18709962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.015798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51772 KachelY 49860 1.82198568 -1.18709962 104.392090 -68.015798
    Oben rechts KachelX + 1 51773 KachelY 49860 1.82208155 -1.18709962 104.397583 -68.015798
    Unten links KachelX 51772 KachelY + 1 49861 1.82198568 -1.18713551 104.392090 -68.017854
    Unten rechts KachelX + 1 51773 KachelY + 1 49861 1.82208155 -1.18713551 104.397583 -68.017854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18709962--1.18713551) × R
    3.58900000001494e-05 × 6371000     		dl = 228.655190000952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18709962--1.18713551) × R
    3.58900000001494e-05 × 6371000     		dr = 228.655190000952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82198568-1.82208155) × cos(-1.18709962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374350928032353 × 6371000     		do = 228.648968530306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82198568-1.82208155) × cos(-1.18713551) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374317647456916 × 6371000     		du = 228.628641161851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18709962)-sin(-1.18713551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374350928032353-0.374317647456916)×R²
    abs(1.82208155-1.82198568)×3.32805754373888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32805754373888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32805754373888e-05×40589641000000     		ar = 52279.4493692537m²