Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51752 / 49867
↖ ↑ ↗
← S 68.030188°
E104.282226°		 ← 228.53 m → S 68.030188°
E104.287720°		 →
↑
228.53 m
↓
↑
228.53 m
↓
S 68.032243°
E104.282226°		 ← 228.51 m →
52 223 m²		 S 68.032243°
E104.287720°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789680480957031 y=0.760917663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789680480957031 × 216)
    floor (0.789680480957031 × 65536)
    floor (51752.5)     		tx = 51752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760917663574219 × 216)
    floor (0.760917663574219 × 65536)
    floor (49867.5)     		ty = 49867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51752 / 49867 ti = "16/51752/49867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51752/49867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51752 ÷ 216
    51752 ÷ 65536     		x = 0.7896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49867 ÷ 216
    49867 ÷ 65536     		y = 0.760910034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7896728515625 × 2 - 1) × π
    0.579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.82006820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760910034179688 × 2 - 1) × π
    -0.521820068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.63934609320668
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.82006820} λ = 1.82006820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63934609320668))-π/2
    2×atan(0.194106928639716)-π/2
    2×0.191722776995018-π/2
    0.383445553990036-1.57079632675     		φ = -1.18735077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.82006820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.282226°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18735077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.030188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51752 KachelY 49867 1.82006820 -1.18735077 104.282226 -68.030188
    Oben rechts KachelX + 1 51753 KachelY 49867 1.82016408 -1.18735077 104.287720 -68.030188
    Unten links KachelX 51752 KachelY + 1 49868 1.82006820 -1.18738664 104.282226 -68.032243
    Unten rechts KachelX + 1 51753 KachelY + 1 49868 1.82016408 -1.18738664 104.287720 -68.032243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18735077--1.18738664) × R
    3.58699999998269e-05 × 6371000     		dl = 228.527769998897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18735077--1.18738664) × R
    3.58699999998269e-05 × 6371000     		dr = 228.527769998897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.82006820-1.82016408) × cos(-1.18735077) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.374118028071014 × 6371000     		do = 228.53055114224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.82006820-1.82016408) × cos(-1.18738664) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.374084762670352 × 6371000     		du = 228.510230923013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18735077)-sin(-1.18738664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374118028071014-0.374084762670352)×R²
    abs(1.82016408-1.82006820)×3.32654006615085e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.32654006615085e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.32654006615085e-05×40589641000000     		ar = 52223.2553675509m²