Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51751 / 49864
↖ ↑ ↗
← S 68.024022°
E104.276733°		 ← 228.57 m → S 68.024022°
E104.282226°		 →
↑
228.59 m
↓
↑
228.59 m
↓
S 68.026078°
E104.276733°		 ← 228.55 m →
52 246 m²		 S 68.026078°
E104.282226°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789665222167969 y=0.760871887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789665222167969 × 216)
    floor (0.789665222167969 × 65536)
    floor (51751.5)     		tx = 51751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760871887207031 × 216)
    floor (0.760871887207031 × 65536)
    floor (49864.5)     		ty = 49864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51751 / 49864 ti = "16/51751/49864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51751/49864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51751 ÷ 216
    51751 ÷ 65536     		x = 0.789657592773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49864 ÷ 216
    49864 ÷ 65536     		y = 0.7608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789657592773438 × 2 - 1) × π
    0.579315185546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.81997233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7608642578125 × 2 - 1) × π
    -0.521728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.63905847180896
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81997233} λ = 1.81997233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63905847180896))-π/2
    2×atan(0.19416276597546)-π/2
    2×0.191776586345703-π/2
    0.383553172691406-1.57079632675     		φ = -1.18724315
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81997233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.276733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18724315 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.024022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51751 KachelY 49864 1.81997233 -1.18724315 104.276733 -68.024022
    Oben rechts KachelX + 1 51752 KachelY 49864 1.82006820 -1.18724315 104.282226 -68.024022
    Unten links KachelX 51751 KachelY + 1 49865 1.81997233 -1.18727903 104.276733 -68.026078
    Unten rechts KachelX + 1 51752 KachelY + 1 49865 1.82006820 -1.18727903 104.282226 -68.026078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18724315--1.18727903) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dl = 228.591479999924m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18724315--1.18727903) × R
    3.58799999999881e-05 × 6371000     		dr = 228.591479999924m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81997233-1.82006820) × cos(-1.18724315) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.374217830658067 × 6371000     		do = 228.567674281873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81997233-1.82006820) × cos(-1.18727903) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.37418455742821 × 6371000     		du = 228.547351400008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18724315)-sin(-1.18727903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374217830658067-0.37418455742821)×R²
    abs(1.82006820-1.81997233)×3.32732298569671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.32732298569671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.32732298569671e-05×40589641000000     		ar = 52246.3001310569m²