Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5175 / 2866
↖ ↑ ↗
← N 81.436866°
W123.145752°		 ← 181.90 m → N 81.436866°
W123.134765°		 →
↑
181.96 m
↓
↑
181.96 m
↓
N 81.435229°
W123.145752°		 ← 181.94 m →
33 101 m²		 N 81.435229°
W123.134765°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5175 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157943725585938 y=0.0874786376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157943725585938 × 215)
    floor (0.157943725585938 × 32768)
    floor (5175.5)     		tx = 5175
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0874786376953125 × 215)
    floor (0.0874786376953125 × 32768)
    floor (2866.5)     		ty = 2866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5175 / 2866 ti = "15/5175/2866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5175/2866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5175 ÷ 215
    5175 ÷ 32768     		x = 0.157928466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2866 ÷ 215
    2866 ÷ 32768     		y = 0.08746337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157928466796875 × 2 - 1) × π
    -0.68414306640625 × 3.1415926535     		Λ = -2.14929883
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.08746337890625 × 2 - 1) × π
    0.8250732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.59204403625568
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14929883} λ = -2.14929883}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.59204403625568))-π/2
    2×atan(13.3570460050695)-π/2
    2×1.49606888261887-π/2
    2.99213776523773-1.57079632675     		φ = 1.42134144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14929883} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.145752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.42134144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.436866°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5175 KachelY 2866 -2.14929883 1.42134144 -123.145752 81.436866
    Oben rechts KachelX + 1 5176 KachelY 2866 -2.14910708 1.42134144 -123.134765 81.436866
    Unten links KachelX 5175 KachelY + 1 2867 -2.14929883 1.42131288 -123.145752 81.435229
    Unten rechts KachelX + 1 5176 KachelY + 1 2867 -2.14910708 1.42131288 -123.134765 81.435229
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.42134144-1.42131288) × R
    2.85600000000663e-05 × 6371000     		dl = 181.955760000422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.42134144-1.42131288) × R
    2.85600000000663e-05 × 6371000     		dr = 181.955760000422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14929883--2.14910708) × cos(1.42134144) × R
    0.000191750000000379 × 0.148899118126235 × 6371000     		do = 181.901006993754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14929883--2.14910708) × cos(1.42131288) × R
    0.000191750000000379 × 0.148927359689812 × 6371000     		du = 181.935507996302m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.42134144)-sin(1.42131288))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148899118126235-0.148927359689812)×R²
    abs(-2.14910708--2.14929883)×2.82415635773914e-05×R²
    0.000191750000000379×2.82415635773914e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.82415635773914e-05×40589641000000     		ar = 33101.0748025411m²