Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51747 / 48735
↖ ↑ ↗
← S 65.583450°
E104.254761°		 ← 252.48 m → S 65.583450°
E104.260254°		 →
↑
252.48 m
↓
↑
252.48 m
↓
S 65.585720°
E104.254761°		 ← 252.46 m →
63 744 m²		 S 65.585720°
E104.260254°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48735 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.789604187011719 y=0.743644714355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.789604187011719 × 216)
    floor (0.789604187011719 × 65536)
    floor (51747.5)     		tx = 51747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743644714355469 × 216)
    floor (0.743644714355469 × 65536)
    floor (48735.5)     		ty = 48735
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51747 / 48735 ti = "16/51747/48735"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51747/48735.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51747 ÷ 216
    51747 ÷ 65536     		x = 0.789596557617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48735 ÷ 216
    48735 ÷ 65536     		y = 0.743637084960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.789596557617188 × 2 - 1) × π
    0.579193115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.81958884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743637084960938 × 2 - 1) × π
    -0.487274169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53081695246687
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81958884} λ = 1.81958884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53081695246687))-π/2
    2×atan(0.216358840207933)-π/2
    2×0.213074599747868-π/2
    0.426149199495737-1.57079632675     		φ = -1.14464713
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81958884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.254761°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14464713 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.583450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51747 KachelY 48735 1.81958884 -1.14464713 104.254761 -65.583450
    Oben rechts KachelX + 1 51748 KachelY 48735 1.81968471 -1.14464713 104.260254 -65.583450
    Unten links KachelX 51747 KachelY + 1 48736 1.81958884 -1.14468676 104.254761 -65.585720
    Unten rechts KachelX + 1 51748 KachelY + 1 48736 1.81968471 -1.14468676 104.260254 -65.585720
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14464713--1.14468676) × R
    3.96299999998462e-05 × 6371000     		dl = 252.48272999902m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14464713--1.14468676) × R
    3.96299999998462e-05 × 6371000     		dr = 252.48272999902m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81958884-1.81968471) × cos(-1.14464713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413367472038551 × 6371000     		do = 252.479796436959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81958884-1.81968471) × cos(-1.14468676) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413331386050995 × 6371000     		du = 252.457755557091m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14464713)-sin(-1.14468676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413367472038551-0.413331386050995)×R²
    abs(1.81968471-1.81958884)×3.60859875563335e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60859875563335e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60859875563335e-05×40589641000000     		ar = 63744.0058117091m²