Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51741 / 54817
↖ ↑ ↗
← N 28.224550°
W 37.889099°		 ← 269.11 m → N 28.224550°
W 37.886352°		 →
↑
269.11 m
↓
↑
269.11 m
↓
N 28.222130°
W 37.889099°		 ← 269.12 m →
72 422 m²		 N 28.222130°
W 37.886352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51741 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394756317138672 y=0.418224334716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394756317138672 × 217)
    floor (0.394756317138672 × 131072)
    floor (51741.5)     		tx = 51741
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.418224334716797 × 217)
    floor (0.418224334716797 × 131072)
    floor (54817.5)     		ty = 54817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51741 / 54817 ti = "17/51741/54817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51741/54817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51741 ÷ 217
    51741 ÷ 131072     		x = 0.394752502441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54817 ÷ 217
    54817 ÷ 131072     		y = 0.418220520019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.394752502441406 × 2 - 1) × π
    -0.210494995117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.66128953
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.418220520019531 × 2 - 1) × π
    0.163558959960938 × 3.1415926535     		Φ = 0.513835627027382
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66128953} λ = -0.66128953}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.513835627027382))-π/2
    2×atan(1.67169089644966)-π/2
    2×1.0317038275283-π/2
    2.06340765505659-1.57079632675     		φ = 0.49261133
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66128953} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.889099°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49261133 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.224550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51741 KachelY 54817 -0.66128953 0.49261133 -37.889099 28.224550
    Oben rechts KachelX + 1 51742 KachelY 54817 -0.66124159 0.49261133 -37.886352 28.224550
    Unten links KachelX 51741 KachelY + 1 54818 -0.66128953 0.49256909 -37.889099 28.222130
    Unten rechts KachelX + 1 51742 KachelY + 1 54818 -0.66124159 0.49256909 -37.886352 28.222130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49261133-0.49256909) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dl = 269.11104000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49261133-0.49256909) × R
    4.22400000000267e-05 × 6371000     		dr = 269.11104000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66128953--0.66124159) × cos(0.49261133) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881100892174539 × 6371000     		do = 269.110892006892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66128953--0.66124159) × cos(0.49256909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.881120867881712 × 6371000     		du = 269.116993102038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49261133)-sin(0.49256909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881100892174539-0.881120867881712)×R²
    abs(-0.66124159--0.66128953)×1.99757071732698e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.99757071732698e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.99757071732698e-05×40589641000000     		ar = 72421.5329702266m²