Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5173 / 3059
↖ ↑ ↗
← N 81.115300°
W123.167725°		 ← 188.68 m → N 81.115300°
W123.156738°		 →
↑
188.71 m
↓
↑
188.71 m
↓
N 81.113602°
W123.167725°		 ← 188.71 m →
35 609 m²		 N 81.113602°
W123.156738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5173 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157882690429688 y=0.0933685302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157882690429688 × 215)
    floor (0.157882690429688 × 32768)
    floor (5173.5)     		tx = 5173
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0933685302734375 × 215)
    floor (0.0933685302734375 × 32768)
    floor (3059.5)     		ty = 3059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5173 / 3059 ti = "15/5173/3059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5173/3059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5173 ÷ 215
    5173 ÷ 32768     		x = 0.157867431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3059 ÷ 215
    3059 ÷ 32768     		y = 0.093353271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157867431640625 × 2 - 1) × π
    -0.68426513671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14968233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093353271484375 × 2 - 1) × π
    0.81329345703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55503674974899
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14968233} λ = -2.14968233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55503674974899))-π/2
    2×atan(12.8717726832455)-π/2
    2×1.49326268793098-π/2
    2.98652537586196-1.57079632675     		φ = 1.41572905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14968233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.167725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41572905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.115300°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5173 KachelY 3059 -2.14968233 1.41572905 -123.167725 81.115300
    Oben rechts KachelX + 1 5174 KachelY 3059 -2.14949058 1.41572905 -123.156738 81.115300
    Unten links KachelX 5173 KachelY + 1 3060 -2.14968233 1.41569943 -123.167725 81.113602
    Unten rechts KachelX + 1 5174 KachelY + 1 3060 -2.14949058 1.41569943 -123.156738 81.113602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41572905-1.41569943) × R
    2.96199999998414e-05 × 6371000     		dl = 188.70901999899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41572905-1.41569943) × R
    2.96199999998414e-05 × 6371000     		dr = 188.70901999899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14968233--2.14949058) × cos(1.41572905) × R
    0.000191749999999935 × 0.15444656919083 × 6371000     		do = 188.677990951294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14968233--2.14949058) × cos(1.41569943) × R
    0.000191749999999935 × 0.15447583371691 × 6371000     		du = 188.713741644987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41572905)-sin(1.41569943))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15444656919083-0.15447583371691)×R²
    abs(-2.14949058--2.14968233)×2.92645260802638e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92645260802638e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92645260802638e-05×40589641000000     		ar = 35608.6120092689m²