Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5172 / 7188
↖ ↑ ↗
← N 70.539543°
W123.178711°		 ← 406.98 m → N 70.539543°
W123.167725°		 →
↑
407.04 m
↓
↑
407.04 m
↓
N 70.535882°
W123.178711°		 ← 407.05 m →
165 672 m²		 N 70.535882°
W123.167725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5172 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157852172851562 y=0.219375610351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157852172851562 × 215)
    floor (0.157852172851562 × 32768)
    floor (5172.5)     		tx = 5172
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219375610351562 × 215)
    floor (0.219375610351562 × 32768)
    floor (7188.5)     		ty = 7188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5172 / 7188 ti = "15/5172/7188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5172/7188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5172 ÷ 215
    5172 ÷ 32768     		x = 0.1578369140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7188 ÷ 215
    7188 ÷ 32768     		y = 0.2193603515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1578369140625 × 2 - 1) × π
    -0.684326171875 × 3.1415926535     		Λ = -2.14987407
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2193603515625 × 2 - 1) × π
    0.561279296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76331091562415
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.14987407} λ = -2.14987407}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76331091562415))-π/2
    2×atan(5.83171377781636)-π/2
    2×1.40097180403346-π/2
    2.80194360806693-1.57079632675     		φ = 1.23114728
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.14987407} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.178711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23114728 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.539543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5172 KachelY 7188 -2.14987407 1.23114728 -123.178711 70.539543
    Oben rechts KachelX + 1 5173 KachelY 7188 -2.14968233 1.23114728 -123.167725 70.539543
    Unten links KachelX 5172 KachelY + 1 7189 -2.14987407 1.23108339 -123.178711 70.535882
    Unten rechts KachelX + 1 5173 KachelY + 1 7189 -2.14968233 1.23108339 -123.167725 70.535882
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23114728-1.23108339) × R
    6.38900000000664e-05 × 6371000     		dl = 407.043190000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23114728-1.23108339) × R
    6.38900000000664e-05 × 6371000     		dr = 407.043190000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.14987407--2.14968233) × cos(1.23114728) × R
    0.000191739999999996 × 0.333156208838619 × 6371000     		do = 406.975475716379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.14987407--2.14968233) × cos(1.23108339) × R
    0.000191739999999996 × 0.333216448228069 × 6371000     		du = 407.049062681077m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23114728)-sin(1.23108339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333156208838619-0.333216448228069)×R²
    abs(-2.14968233--2.14987407)×6.02393894507669e-05×R²
    0.000191739999999996×6.02393894507669e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.02393894507669e-05×40589641000000     		ar = 165671.572479917m²