Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 51712 / 54784
↖ ↑ ↗
← N 28.304381°
W 37.968750°		 ← 268.91 m → N 28.304381°
W 37.966003°		 →
↑
268.92 m
↓
↑
268.92 m
↓
N 28.301962°
W 37.968750°		 ← 268.92 m →
72 316 m²		 N 28.301962°
W 37.966003°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.394535064697266 y=0.417972564697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.394535064697266 × 217)
    floor (0.394535064697266 × 131072)
    floor (51712.5)     		tx = 51712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417972564697266 × 217)
    floor (0.417972564697266 × 131072)
    floor (54784.5)     		ty = 54784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 51712 / 54784 ti = "17/51712/54784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/51712/54784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51712 ÷ 217
    51712 ÷ 131072     		x = 0.39453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54784 ÷ 217
    54784 ÷ 131072     		y = 0.41796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.39453125 × 2 - 1) × π
    -0.2109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.66267970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41796875 × 2 - 1) × π
    0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.66267970} λ = -0.66267970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.515417544714844))-π/2
    2×atan(1.67433746662289)-π/2
    2×1.03240048121875-π/2
    2.06480096243751-1.57079632675     		φ = 0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.66267970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -37.968750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51712 KachelY 54784 -0.66267970 0.49400464 -37.968750 28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 51713 KachelY 54784 -0.66263176 0.49400464 -37.966003 28.304381
    Unten links KachelX 51712 KachelY + 1 54785 -0.66267970 0.49396243 -37.968750 28.301962
    Unten rechts KachelX + 1 51713 KachelY + 1 54785 -0.66263176 0.49396243 -37.966003 28.301962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49400464-0.49396243) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dl = 268.919909999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49400464-0.49396243) × R
    4.2209999999987e-05 × 6371000     		dr = 268.919909999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.66267970--0.66263176) × cos(0.49400464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 268.909374906613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.66267970--0.66263176) × cos(0.49396243) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.880461114672402 × 6371000     		du = 268.915487489867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49400464)-sin(0.49396243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.880461114672402)×R²
    abs(-0.66263176--0.66267970)×2.00133206000874e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.00133206000874e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.00133206000874e-05×40589641000000     		ar = 72315.9068064773m²