Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5171 / 3053
↖ ↑ ↗
← N 81.125475°
W123.189697°		 ← 188.46 m → N 81.125475°
W123.178711°		 →
↑
188.52 m
↓
↑
188.52 m
↓
N 81.123779°
W123.189697°		 ← 188.50 m →
35 532 m²		 N 81.123779°
W123.178711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5171 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.157821655273438 y=0.0931854248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.157821655273438 × 215)
    floor (0.157821655273438 × 32768)
    floor (5171.5)     		tx = 5171
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0931854248046875 × 215)
    floor (0.0931854248046875 × 32768)
    floor (3053.5)     		ty = 3053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5171 / 3053 ti = "15/5171/3053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5171/3053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5171 ÷ 215
    5171 ÷ 32768     		x = 0.157806396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3053 ÷ 215
    3053 ÷ 32768     		y = 0.093170166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.157806396484375 × 2 - 1) × π
    -0.68438720703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15006582
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093170166015625 × 2 - 1) × π
    0.81365966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55618723533987
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15006582} λ = -2.15006582}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55618723533987))-π/2
    2×atan(12.8865899941637)-π/2
    2×1.49335148173257-π/2
    2.98670296346515-1.57079632675     		φ = 1.41590664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15006582} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.189697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41590664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.125475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5171 KachelY 3053 -2.15006582 1.41590664 -123.189697 81.125475
    Oben rechts KachelX + 1 5172 KachelY 3053 -2.14987407 1.41590664 -123.178711 81.125475
    Unten links KachelX 5171 KachelY + 1 3054 -2.15006582 1.41587705 -123.189697 81.123779
    Unten rechts KachelX + 1 5172 KachelY + 1 3054 -2.14987407 1.41587705 -123.178711 81.123779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41590664-1.41587705) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dl = 188.517890000151m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41590664-1.41587705) × R
    2.95900000000238e-05 × 6371000     		dr = 188.517890000151m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15006582--2.14987407) × cos(1.41590664) × R
    0.000191749999999935 × 0.1542711076334 × 6371000     		do = 188.463640225872m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15006582--2.14987407) × cos(1.41587705) × R
    0.000191749999999935 × 0.154300343330798 × 6371000     		du = 188.499355701315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41590664)-sin(1.41587705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1542711076334-0.154300343330798)×R²
    abs(-2.14987407--2.15006582)×2.92356973985997e-05×R²
    0.000191749999999935×2.92356973985997e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.92356973985997e-05×40589641000000     		ar = 35532.134302695m²