Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 51706 / 49514
↖ ↑ ↗
← S 67.293256°
E104.029541°		 ← 235.77 m → S 67.293256°
E104.035034°		 →
↑
235.79 m
↓
↑
235.79 m
↓
S 67.295377°
E104.029541°		 ← 235.75 m →
55 591 m²		 S 67.295377°
E104.035034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 51706 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.788978576660156 y=0.755531311035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.788978576660156 × 216)
    floor (0.788978576660156 × 65536)
    floor (51706.5)     		tx = 51706
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755531311035156 × 216)
    floor (0.755531311035156 × 65536)
    floor (49514.5)     		ty = 49514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 51706 / 49514 ti = "16/51706/49514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/51706/49514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 51706 ÷ 216
    51706 ÷ 65536     		x = 0.788970947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49514 ÷ 216
    49514 ÷ 65536     		y = 0.755523681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.788970947265625 × 2 - 1) × π
    0.57794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.81565801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755523681640625 × 2 - 1) × π
    -0.51104736328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60550264207492
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.81565801} λ = 1.81565801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60550264207492))-π/2
    2×atan(0.200788604740549)-π/2
    2×0.198153718515215-π/2
    0.39630743703043-1.57079632675     		φ = -1.17448889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.81565801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 104.029541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17448889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.293256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 51706 KachelY 49514 1.81565801 -1.17448889 104.029541 -67.293256
    Oben rechts KachelX + 1 51707 KachelY 49514 1.81575388 -1.17448889 104.035034 -67.293256
    Unten links KachelX 51706 KachelY + 1 49515 1.81565801 -1.17452590 104.029541 -67.295377
    Unten rechts KachelX + 1 51707 KachelY + 1 49515 1.81575388 -1.17452590 104.035034 -67.295377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17448889--1.17452590) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dl = 235.790710000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17448889--1.17452590) × R
    3.7010000000004e-05 × 6371000     		dr = 235.790710000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.81565801-1.81575388) × cos(-1.17448889) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.386014619240477 × 6371000     		do = 235.773008473285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.81565801-1.81575388) × cos(-1.17452590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385980477522649 × 6371000     		du = 235.752155129589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17448889)-sin(-1.17452590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.386014619240477-0.385980477522649)×R²
    abs(1.81575388-1.81565801)×3.41417178286174e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.41417178286174e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.41417178286174e-05×40589641000000     		ar = 55590.6265606457m²